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SUR QUELQUES PROPRIÉTÉS 
ou par la somme des termes négatifs du polynôme (3), on reproduira 
la somme des termes correspondants à des cosinus positifs, ou la 
somme des termes correspondants à des cosinus négatifs dans le poly 
nôme 
(12) 
s% cos[3 4- s'% COS(3' 4- s"cos[3" +.. . . 
Il est aisé d’en conclure que les deux dernières sommes seront égales, 
au signe près, comme les deux premières. Donc, en réunissant les deux 
dernières sommes avec les signes qui leur conviennent, on obtiendra 
zéro pour résultat, en sorte que la formule (ri) se trouvera vérifiée. 
Le même raisonnement s’applique en général à celles des formules (5) 
dont le second membre est nul, et peut être facilement étendu au cas 
même où le polyèdre proposé, cessant d’être convexe, présenterait des 
angles rentrants en nombre quelconque. 
Aux propriétés des polyèdres, énoncées dans les théorèmes I et II, 
correspondent des propriétés analogues que présentent les polygones 
renfermés dans des plans, et que nous allons indiquer en peu de mots. 
Considérons un polygone quelconqu e renfermé dans le plan des a?, y, 
et dont les côtés soient désignés par r, r', r", Nommons a, ¡3; 
a', [3'; a", ¡3"; ... les angles que forment, avec les demi-axes des coor 
données positives, des perpendiculaires élevées sur ces côtés, et pro 
longées en dehors du polygone. Soit enfin s la surface du polygone, et 
5, Y]; £', Y]'; y]"; ... les coordonnées des milieux des côtés r, r', 
r", .... On aura 
(i3) /-cosa +/•'cosa' + .. o, 
r COS [3 4- r' COS ¡3' 4- ... = o, 
et de plus 
04) 
/■£ cosa 4- r'I' cos a' 4-.. .= s, 
/•£ C0S{3 4- r'I' COS(3'4-. . . = 0, 
r-f] cosa 4- r'n' cos a'4-.. . = o, 
/■yj.cos(3 4- r' n' cos(3'4-... — s. 
Si, pour plus de commodité, on nomme projections algébriques des 
côtés du polygone sur les axes des y et x les produits