96 I. Teil. 6. Kapitel. 
Flächen in seiner erweiterten Fassung benutzen können. Denn 
die gesamte auf den Aufpunkt wirkende Kraft, d. h. die Resul- 
tierende aus dem Gewicht und der Zwangskraft, geht zwar nicht 
durch ein festes Zentrum, wohl aber durch eine feste Gerade, 
nämlich durch die Vertikale im Kugelmittelpunkt. Daher gilt 
für die Projektion des Aufpunktes auf die xy-Ebene die Glei- 
chung (161): 
1 
9r: 279 — , 
(25%) y ee, 
wobei: 
(254) g-rf009, y--rgsing. 
Zur Bestimmung der Bahn führen wir überall statt der gerad- 
linigen Koordinaten x, y, 2 die Zylinderkoordinaten r, o, 2 ein. 
Dann wird aus (251): 
(255) p9h-- = 202 
und aus (252), mit Rücksicht auf (166): 
é [dr M » (098 dnm. 0 
Weiter ergibt die Elimination von d£ mittelst (253), sowie die 
von 7? und rdr mittels (255) und der daraus abgeleiteten Diffe- 
  
  
rentialgleichung: 
(257) rdr — (l — z) dz 
die foleende Beziehung zwischen g und z: 
(258) dg l-¢-dz 
Ol -—2)-2«V (e-992)- QI —2):2—e2- 
Dies führt im allgemeinen auf ein elliptisches Integral. Da 
nach (253) sich p immer in gleichem Sinne mit ¢ &ndert, konnen 
wir, ohne die Allgemeinheit wesentlich zu beschränken, @ Stets 
als wachsend, also c’, ebenso wie e, als positiv voraussetzen. Da- 
gegen wird z abwechselnd zu- und abnehmen, und dementsprechend 
die Quadratwurzel in (258) positiv oder negativ zu nehmen sein. Das 
Verschwinden der Wurzel gibt die höchste und die tiefste Lage des 
Pendels. Die Gleichung dafür ist zwar kubisch in bezug auf z, hat 
also 3 Wurzeln, aber man überzeugt sich leicht, daß eine Wurzel 
größer als 27 ist und daher keine physikalische Bedeutung besitzt. 
Denn der Ausdruck unter der Wurzel wechselt das Vorzeichen, wenn 
man z von 2/ bis oo wachsen 1äßt. 
Natürlich ist z periodisch in bezug auf ¢. Aber die Bahn- 
kurye ist nur dann geschlossen, wenn ein ganzes Vielfaches der