56 I. Teil. 3. Kapitel.
§ 45. Vom mathematischen Standpunkt aus sehen wir, dal,
wenn die Potentialfunktion ¢ von irgendwelchen rüumlich ver-
teilten Massen in allen Punkten v, y, 2 des Raumes gegeben ist,
die Dichtigkeit X dieser Massen durch eine einfache eindeutige
Differentialoperation daraus berechnet werden kann, während die
umgekehrte Aufgabe, aus der Dichtigkeit X die Potentialfanktion
zu finden, eine solche der Integralrechnung ist. Oder mit anderen
Worten: der Ausdruck (126):
k& nm, t-dV
p fent,
in welchem wir X. für unendlich ferne Punkte $, 2, 6 als ver-
schwindend annehmen, ist ein Integral der Differentialgleichung (132),
aber nicht das allgemeine Integral, sondern dasjenige partikuläre
Integral, welches durch die Bedingung beschränkt ist, daß @ ver-
schwindet, wenn der Aufpunkt ins Unendliche rückt.
Der allgemeine Ausdruck einer eindeutigen und mit den ersten
Differentialquotienten stetigen Funktion 9, welche der Differential-
gleichung (132) genügt, ist:
(133) ef T eos
wobei o, die Gleichung 4g, — 0 im ganzen unendlichen Raume
genügt. g, làft sich immer auffassen als die Potentialfunktion
von Massen, die ganz im Unendlichen liegen. So z. B. ist der
Spezielle Wert:
Do = const.,
welcher offenbar ebenfalls die Gleichung 4g, — 0 befriedigt, gleich
der Potentialfunktion einer homogenen Kugelschicht von unendlich
groBem Radius. Vgl. § 37.
§ 46. Wir wollen noch die Potentialfunktion 9 berechnen
für den speziellen Fall, daf die Dichtigkeit der wirkenden Massen
von einer der drei Koordinaten, etwa von 5, unabhängig ist. Dieser
Fall wird verwirklicht, wenn die Massen zylindrisch parallel der
z-Achse angeordnet sind, in der Weise, daß in jedem unendlich
dünnen Zylinder die Dichtigkeit konstant ist.
Dann wird die Potentialfunktion @ nur von x und y, nicht
aber von z abhängen, und wir können daher unbeschadet der All-
gemeinheit den Aufpunkt in der xy-Ebene befindlich annehmen:
£ — 0, wodurch 7?. übergeht in:
= 0A ©,