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Integration der Bewegungsgleichungen. 59 
Für o,«7 A: 
9 — (Rt— R,?) — xxR2 log R, + zB}? log R,. (144) 
Man überzeugt sich leicht, -daB ¢ mitsamt dem ersten Diffe- 
rentialquotienten nach o, überall stetig ist, während für 4g die 
Gleichungen (140) und (141) gelten. 
Für einen Vollkreis mit dem Radius E wird R,— 0, R,—R 
und die Potentialfunktion auf einen Punkt in der Entfernung op, <R 
vom Mittelpunkt wird nach (143): 
= = (2 — 0,2) — xx R? log R, (145) 
während für einen äußeren Punkt (po > RB) die Potentialfunktion 
nach (142) den Wert besitzt: 
; — B logos. (146) 
wenn u = xx? die gesamte anziehende Masse bezeichnet. 
Viertes Kapitel. Integration der Bewegungsgleichungen. 
$ 47. Die Aufgabe, die Bewegung eines, gegebenen Krüften 
unterworfenen, materiellen Punktes zu bestimmen, erfordert die 
Integration der Bewegungsgleichungen (55), und diese läft sich 
nur dann direkt ausführen, wenn die Kräftekomponenten entweder 
konstant oder als Funktionen der Zeit 7 gegeben sind. ‚Meistens 
werden die Krüftekomponenten aber von der Lage des Punktes 
oder yon seiner Geschwindigkeit abhängen, und dann erfordert die 
Durchführung der Integration eine besondere Behandlung der Be- 
wegungsgleichungen. Derartige Behandlungsmethoden, die in man- 
chen Fällen eine Integration gestatten, sollen im folgenden dar- 
gelegt werden. 
Multipliziert man die Gleichungen (55) nacheinander mit u,v, w, 
und addiert, so erhält man: 
mui + vo + wi) = XC 4 y».zT 
oder, mit d£ multipliziert, nach (41): 
d(5 mq) — Xdz 4- Ydy 4- Zdz. (147) 
Die Größe = ma wird nach Leibniz, obwohl etwas unzweck- 
mäßig, die „lebendige Kraft“ des Aufpunktes genannt, während 
der Differentialausdruck auf der rechten Seite als die „Arbeit“ 4