60 I. Teil. 4. Kapitel. 
bezeichnet wird, welche die Kraft § an dem Aufpunkt leistet, 
wenn er aus der Lage z,y,z in die Lage x 4- dz, y + dy, 2 + dz 
übergeht. Mit Benutzung der Beziehungen (60) und (45) läft sich 
die Arbeit auch schreiben: 
À — F - ds - (cos æ cos à + cos 8 cos y + cos y cos v) 
(148) = F - ds  cos(F, ds), 
d. h. die Arbeit ist gleich dem Produkt der Größe der Kraft, der 
Größe der Verschiebung und des cos des Winkels dieser beiden. 
Ist der Winkel stumpf, so ist die Arbeit negativ, ist der Winkel 
ein rechter, so ist die Arbeit Null. 
In der Vektorrechnung heißt die Größe (148) das Produkt der 
beiden Vektoren (y und dr: 
(149) dom S. dt, 
und zwar das ,skalare Produkt", weil die Arbeit zu den skalaren 
Größen gehört ($ 36). Die Einheit der Arbeit im absoluten g. c. s.- 
System, d. h. die Arbeit einer Kraft von 1 Dyn bei der Verschie- 
bung des Aufpunktes um 1 em in der Richtung der Kraft, heift 
ein Erg. 
Wirken mehrere Kráfte auf den Aufpunkt, so ist bei einer 
unendlich kleinen Verschiebung des letzteren die Arbeit der resul- 
tierenden Kraft, wie leicht aus (66) und (147) zu ersehen, gleich 
der Summe der Arbeiten der Einzelkrüfte. 
$ 48. Die Bedeutung der Gleichung (147), welche allgemein 
besagt, daß die ÀAnderung der lebendigen Kraft des Auf- 
punktes gleich ist der von der wirkenden Kraft geleiste- 
ten Arbeit, beruht darauf, daß sie in zahlreichen wichtigen Fällen 
eine unmittelbare Integration gestattet. Im allgemeinen ist zwar 
eine Integration nicht möglich; denn wenn auch die Kräftekompo- 
nenten X, Y, Z als Funktionen von x, y, z bekannt sind, läßt sich 
nicht immer eine Funktion von x, y, z angeben, deren Differential 
gleich 4 ist; so z. B., wenn: 
Aug yq Z9, 
also À = y2dx + aêdy. 
Dann heißt À ein ,,unvollständiges Differential“. In einem 
solchen Falle muß die Integration der Bewegungsgleichungen auf 
anderem Wege erfoleen als durch Bildung von A. 
Wenn aber speziell die wirkende Kraft eine Zentralkraft ist,