RECHERCHES SUR QUELQUES SÉRIES SEMI-CONVERGENTES. 
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prenant n = 0 dans (24), on aurait 0,87905 comme valeur approchée 
de la racine de l’équation transcendante 
J x _j_ M 2 du = —\e~ a h(e a ) — \ e a h (e~ a ) = 0. 
c 
La valeur exacte est 0,87964. 
Développement en série semi-convergente de log r(auj. 
11. Avant d’aborder le développement de log r (ai), nous croyons 
utile de résumer ici le résultat auquel on est arrivé par l’étude du dé 
veloppement de logr(a), en renvoyant d’ailleurs pour les démonstra 
tions au travail de M. Bourguet. 
Le premier travail rigoureux sur ce sujet, qui est dû à Cauchy, a son 
point de départ dans cette formule à laquelle Binet était déjà arrivé, 
(26) log r (a) = (a — J) log a — a + \ log 2 n -f f ( g|i [_ ^ ~ + |-) du. 
"o 
Pour obtenir le terme complémentaire sous forme finie, il est plus 
avantageux de partir de l’expression 
(27) log r (a) = (a— i) log a - a + J log 2 « + -J” y—C log [ l _ e 1 _ 2 ~j, 
0 
et l’on trouve 
I J_ r 00 du l 1 \ 
~nJ 1 -f- U 2 10g \1 — e-2^au/ 
0 
B 2 , . Bn 
1.2« S . 4: a s ~ r ' ‘ ~ 2 n — \ . 2 na 2n ~ 1 tw ’ 
i,oo w 2m / 1 \ 
*»=«/ r+^ lo g(l-e-2»J dM - 
0 
M. Bourguet trouve que l’indice du plus petit terme est le premier 
nombre entier supérieur à n a -f- + ^na ’ et ^ ^ onne comme racine 
approchée de R M — R n -1 = 0 l’expression 
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