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§ 2. Differentiation entwickelter algebraischer Funktionen 57 
Addition aller dieser n Gleichungen gibt: 
( u i u i • • • U J = V 
U l U i ' ■ • U n U l ^ ^ + 
womit Satz 15 allgemein bewiesen ist. Multiplikation mit dem 
Nenner u t u 2 . . . u n gibt die Formel für die Ableitung eines 
Produktes von n Faktoren: 
( M 1 M 2 ' ‘ ' U n) = U l u 2 ’ ' ' U n "P U t U 2 • • • U n -p • • • -f- U 2 ■ ■ ■ llf. 
Der Beweis setzte allerdings voraus, daß %m 2 • • • u n 4= 0' sei. 
Es ist aber leicht zu sehen, daß die Formel von dieser An 
nahme unabhängig ist, da man sie auch durch wiederholte Ab 
wendung des Satzes 14 finden kann. 
36. Differentiation eines Bruches. Sind u und v 
zwei Funktionen von x und ist y der Bruch u : v, so kommt 
A u-\-Ju u 4u uJv 
J v-^Jv V V -{- dv v(v-\- 2lv) 
und daher: 
J y 1 du u d v 
dx v-\-dv dx v(v-\- dv) dx 
für jedes x, für das v und v -j- Av 4= 0 ist. Gehen wir zur 
Grenze über, so folgt für jedes x, für das v 4= 0 ist: 
(1) 
du dv 
dy 1 du u dv dx dx 
dx v dx v 2 dx v 2 
Satz 16: Die Ableitung eines Bruches aus zwei Funktionen 
ist für solche Werte der unabhängigen Veränderlichen, für die der 
Nenner nicht gleich Null ist, gleich einem Bruche, dessen Zähler 
die Differenz aus dem Produkte des Nenners mit der Ableitung 
des Zählers und dem Produkte des Zählers mit der Ableitung des 
Nenners ist, während im Nenner das Quadrat des gegebenen 
Nenners steht, in Formel: 
/uV vu —uv 
\ V ) V 2 
Übersichtlicher wird die Formel, wenn wir sie mit y 
oder u:v dividieren, da dann kommt: 
Satz 17: Die logarithmische Ableitung eines Bruches 
y = u \ v ist gleich der Differenz der logarithmischen Ablei 
tungen von Zähler und Nenner, in Formel: 
y u v' 
y u v