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Polygons in den Mitten berührt und einbeschiebener Kreis heisst. In dem 
gemeinschaftlichen Zentrum schneiden sich sowohl die Halbierungslinien der Winkel 
des regelmässigen Vielecks als auch die in den Halbierungspunkten der Seiten er- 
richteten Lote. Die ersteren sind Radien des umbeschriebenen, die letzteren Radien 
des einbeschriebenen Kreises. Der Winkel zweier aufeinanderfolgenden Radien des 
umbeschriebenen Kreises heisst Centri- oder Mittelpunktswinkel, das von zwei 
solchen Radien und einer Polygonseite gebildete Dreieck Bestimmu ngsdreieck 
des regelmässigen Vielecks. Alle Mittelpunktswinkel sind einander gleich, alle Be- 
stimmungsdreiecke kongruent. Jeder Mittelpunktswinkel in einem regulären n-Eck 
ist gleich 4/n R. Durch ein Bestimmungsdreieck ist das reguläre Polygon voll- 
ständig bestimmt. Die Aufgabe, ein regulüres n-Eck mit einer vorgeschriebenen 
Seite s, zu konstruieren, ist daher mit folgender identisch: „Ein gleichschenkliges 
Dreieck mit gegebener Grundlinie — a zu konstruieren, in dem der Winkel an der 
Spitze 4/nR ist^ Nur für gewisse Werte von n ist die Konstruktion des Winkels 
4/n R ausfiihrbar. 
Diese Konstruktionen sind auf S. 44 u. ff. durchgeführt. Aus der Figur folgt 
weiter, dass sowohl der Umfang des um- wie auch des einbeschriebenen Kreises 
bezgl. durch die Ecken und die Mitten der Seiten in soviel gleiche Teile geteilt 
wird, als das Vieleck Seiten hat. Wenn also die Peripherie eines Kreises in n 
gleiche Teile geteilt wird und die aufeinander folgenden Teilpunkte durch Sehnen 
verbunden werden, oder durch die Teilpunkte Tangenten bis zum Zusammentreffen 
gezogen werden so sind die entstandenen Polygone regulär. Es sollen zunächst 
einige regelmässige Vielecke aus dem umbeschriebenen Kreise konstruiert werden. 
1. Dreieck, Sechseck, Zwölfeck, Vierundzwanzigeck, u. s. w. (Fig. 76). 
Ist die Peripherie eines Kreises in 
6 gleiche Teile geteilt, so wird auch der 
Winkel um den Mittelpunkt durch die 
Radien von den Teilpunkten in 6 gleiche 
Teile geteilt, also kommt auf jeden Teil 
48. : a de 
y pe 60° Da die Bestimmungsdreiecke 
immer gleichschenklige Dreiecke sind, so 
muss in diesem Falle auch jeder Winkel 
an der Polygonseite — 60? sein, d. h. das 
Fig. 76. 
Bestimmungsdreieck für das regelmässige 
Sechseck ist ein gleichseitiges; also ist 
die Seite eines regelmässigen Sechsecks 
gleich dem Halbmesser des umbeschriebe- 
nen Kreises. Man erhält also das reg. 
Sechseck, wenn «man den Halbmesser 
ÿ des Kreises von einem beliebigen Punkte 
sechsmal als Sehne in den Kreis trägt. 
Das regelmässige Dreieck (Fig. 77a). Teilt man den Kreis in 6 gleiche 
Teile und fasst man je zwei anstossende Bogen der Reihe nach zu einem zusammen, 
so bilden die zugehörigen Sehnen dieser Bögen das regelmässige Dreieck. Zu 
  
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