9. Konstruktion der Hyperbel aus den Asymptoten. 
Kennt man von einer Hyperbel die Asymptoten und einen Punkt oder die 
reelle Achse, so ist sie konstruierbar ohne Benutzung der Brennpunkte (Fig. 152). 
Ist die Kurve konstruiert und ziehen wir beliebige Gerade, welche Kurve und 
Asymptoten schneiden, so sind stets die Strecken einer Sekante, welche zwischen 
Kurve und Asymptoten liegen, einander gleich. Sind L und L‘ die Asymptoten, 
A. ein Punkt 
der Hyperbel, 
so erhält man 
auf einer be- 
liebigen durch 
A gezogenen 
Geraden, diedie 
Asymptoten in 
B u. C schnei- 
den móge, den 
zweiten Hyper- 
belpunkt — D, 
wenn man BA 
= CD macht. 
Die durch 
Punkt A an 
die Hyperbel 
gelegte — Tan- 
gente wird von 
den Asympto- 
ten so begrenzt, 
dass der Be- 
rührungspunkt 
den  Halbie- 
Fig. 155, 
  
  
  
rungspunkt dieser Strecke bildet. 
Dreiteilung (Trisektion) eines Winkels von beliebiger Grösse mittels 
einer gleichseitigen Hyperbel. Fine Hyperbel wird eine gleichseitige genannt, 
wenn ihre Asymptoten auf einander senkrecht stehen. Konstruieren wir zu zwei 
aufeinander senkrecht stehenden Asymptoten Ox und Oy (Fig. 153) und einem 
gegebenen Kurvenpunkt die Hyperbel und tragen wir den zu teilenden Winkel an 
Ox in O an, dann schliesst Linie ON, gezogen von O nach dem Mittelpunkte N 
der Sehne MR, welcher eine Länge —2 OM zu geben ist, mit der Asymptote Ox 
einen Winkel ein, der gleich dem 3. Teile des gegebenen Winkels a ist: Beweis: 
Es ist, da Dreieck POQ rechtwinklig ist, ON — PN — QN, mithin Winkel NOQ 
—OQN und Winkel ONP—2NOQ als. Aussenwinkel eines gleichschenkligen 
Dreiecks, Nach Konstruktion ist Dreieck MNO gleichschenklig, mithin Winkel 
ONM—MON—2NOQ, d. h. X NOQ-—/,MOQ. Halbiere ich MON, so ist 
MOQ —a in 3 gleiche Teile geteilt. |