I. Les principes exposés de la théorie des intégrales définies nous fournissent les moyens 
nécessaires de déduire plusieurs théorèmes généraux de transformation au sujet de ces fonctions, 
où il se trouve sous le signe d'intégration définie une fonction, ou tout-à-fait arbitraire, ou soumise 
a quelcpres conditions plus ou moins restrictives. Dans les discussions, auxquelles les diverses 
transformations donnent lieu, il faudra presque à chaque instant faire usage des diverses remarques, 
que contient la Première Partie; de sorte qu’on peut déjà considérer cette Partie-ci comme une 
application de la théorie des intégrales définies, contenue dans la première. 
Il y a quatre genres de ces théorèmes de transformation. En premier lieu ceux, qui mènent 
a une évaluation finie d’une intégrale définie générale, en fonction ordinairement des coefficients, qui se 
présentent dans un développement de la fonction intégrée. En deuxième lieu ceux, dans lesquels on est 
conduit à une autre intégrale définie générale, qui est plus simple sous quelque point de vue, ou qui 
offre plus d’avantages pour la réduction dans chaque cas spécial, lorsque la forme de la fonction est 
connue. En troisième lieu les théorèmes, qui conduisent à des sommations de séries; ces théorèmes 
peuvent de même servir inversérnent à la sommation des suites par des intégrales définies. Enfin 
les théorèmes, où il se trouve encore des intégrations doubles, que l’on ne peut réduire à une 
seule intégration qu’après la substitution d’une forme spéciale pour la fonction arbitraire: il dépend 
donc en ce cas de cette forme, si l’intégration double est irréductible ou non à une seule in 
tégration. 
Dans le cours de cette Partie il faudra souvent employer les valeurs d’intégrales définies 
spéciales, valeurs qu’on ne trouvera déduites que dans la troisième Partie. Ceci pourtant ne pourra 
donner lieu à des objections fondées, pourvu qu’on se garde de faire usage de telles formules que 
l’on aurait obtenues peut-être à l’aide du théorème en discussion; ce dont ou pourra toujours 
facilement s’assurer par l’inspection du lieu cité, où se trouve l’évaluation de l’intégrale définie 
employée. Dans le cas contraire, où l’on voudrait faire usage de la valeur d’une intégrale définie, 
découlant d’un théorème, qu’on s’occupe de démontrer ou de déduire, on tomberait nécessairement 
dans la faute grave de raisonnement en cercle vicieux. 
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