III. 
§. 13. Nr. 131. 
Ebene Curve. 
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gehörigen Normale liegt, sonach der Mittelpunct des zu einer Stelle der Curve gehörigen Krüm 
mungskreises stets in die zu derselben Stelle gehörige Normale fallt. Diese Eigenschaft des 
Krümmungskreises giebt in Verbindung mit der aus der Gleichung (71. a.) zu entnehmenden 
Grösse q seines Halbmessers alles an die Hand, was zur Erkenntniss der Curvenkrümmung an 
einer ihrer Stellen erfordert wird. 
131) Obschon die Bestimmungen der vorigen Nummer alles in sich enthalten, wodurch 
sich die in einer ebenen Curve vorfallenden Krümmungsänderungen vollständig beurtheilen las 
sen, so werden wir doch noch einige Vergleichungen der hier gewonnenen Resultate mit schon 
früher erhaltenen folgen lassen, durch die der Gegenstand mehr von allen Seiten beleuchtet 
wird. Dividiren wir nämlich die letzte der Gleichungen (61. a.), welche El darstellt, in das 
Quadrat der vorletzten, welche Ul darstellt, so erhalten wir: 
El-Ai±irvr 
El £'cV 
oder mit Rücksicht auf die Gleichung (71. a.): 
woraus man findet: 
2o, 
(S3, a.) 
Avenn man sich unter E 0 und q immer nur positive Werthe vorstellt, und diese letzte Glei 
chung zeigt, dass man den Durchmesser des zu einer Stelle 0 gehörigen Krümmungskreises 
findet, wenn man von einer andern Stelle 0' der Curve auf die zu 0 gehörige Tangente ein 
0 S 2 
Lotli fällt, welches diese Tangente in S trifft und den Werth von 7-7-7 nimmt, Avie er Avird, 
’ 0 OS 
Avenn man den Punct 0' so nahe an den 0 rücken lässt, dass sich die Entfernung dieser bei 
den Puncte von einander durch keine endliche Zahl mehr bezeichnen lässt. 
Erwägt man ferner, dass bei so grosser Annäherung des Punctes 0' an den 0 , Avie sie 
die Grössen 77 0 und E 0 immer voraussetzen, den Gleichungen (61. a.) gemäss 7Zo = R« ist, 
und man daher die Gleichung (73. a.) auch so schreiben kann: 
e~ 2q ’ 
O'S 
R, 
1 = sin 0 O , 
(93. I>.) 
und dass, avo man auch den Punct 0' auf der Curve nehmen mag, immer der Sinus des 
spitzen Winkels ist, den die durch 0 und 0' gelegte Gerade mit der Tangente an 0 bildet, 
oder, wenn man hier Aviedcr die Bezeichnungen der Nr. 127. beibehält, dass allgemein 
E . n 
R= Sm0 
ist, so kann man dieser Gleichung in dem Falle, wo der Punct 0' dem 0 unbestimmbar nahe 
rückt, und deswegen E und R in E ä und R 0 übergehen, die andere Gestalt geben: 
E 0 
(93. c.)