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Vierung BD, oder EF, vermög des 1 7den im V I. Und destvegen gehet die Parabel ( oder 
vergleichende Kegel- Lini/ ) tvelche / nach Anleitung der Lini B C durch den Scheitelpunct B, 
umb die §ſittel-ini B E gezogen tvird / nohttvendig durch den Punct F, vermög des r 1ten 
im I. B. Apollonii von denen Regel-Qineen. Gleicher Weiſe/ tveil A B gegen B E ſich 
verhält wie BE gegen B D, iſt das Rechtekk aus A B in B Dgleich der Vierung B E , das iſt/ 
der Vierung D F ; undgehet daher/ aus vorigem Grund-, eine andere Parabel/ dienach Anlei- 
tung der Lini AB, durch den Scheitelpunct B umb die Mittel-Lini B D gezogen tvird / noht- 
ſvendig tvieder durch den Punct F. Woraus erhellet/ daß/ wwann A B und B C gegeben ſind / 
vermittelſt ziveyer Parabolen/ der Punct F könne gefunden / und daher / vermittelſt derer ſenk- 
rechten F D und F E, die beyde mittlere gleichverhaltende B E und B D, können kunſtrichtig 
beſtimmet tverden; tvelches alſo kürzlich die ganze Auflöſung iſt/ welche CDenechmus / derer 
Alten Gewohnheit nach/ durch eine anmuhtige Wiedertehr folgender maſſen ausführet. 
Von der Kugel und Rund-Säaule. 
Sonun gegeben ſind zivey gerade Lineen A B und B C, ziviſchen telchen zivey mittlere 
gleichverhaltende ſollen gefunden tverden/ ſo ſctze die beyde gegebene winkclrecht auf einander/ 
und verlängere ſie gegen D und E, ohne Maaß, hinaus ; beſchreibe ſo dann / nach Erforderung 
der Lini BC, umb B E eine Parabel/ ( alſo nehmlich / daß die Vierung einer jeden / von ihrem 
Umbkreiß auf B E senkrecht gezogenen / Lini (als hier die Vicrung E F) gleich ſey dem Recht- 
etk ausB C und bem Jeihl der Mittel Lini ztviſchen B und der vorigen ſenkrechten ( hier B E ) 
Beſihe unten die Anmerkung. VWiederumbbeſchreibe / voriger maſſen/ umb B D, nach 
Erforderung der Lini A B eine andere Parabel / und aus dem Punct F., in tvelchem ſie einander 
durchſchneiden/ ziehe die ſenkrechte Lineen F D und F E, ſo iverden B E und B D die begehrte 
zivey mittlere gleichverhaltende ſepyn. 
Beweiß. 
Danndas Rechtekk aus B E und B C iſt gleich der Vierung E F , das sst / der Vierung 
B D, vermög der Auflöſung. Darumb verhält ſich tvie B C gegen B D , alſo B D gegen 
B E, nach dem ) 7den des V I. Wiederumb / tveil das Rechtekk aus A B und B D gleich 
iſtderVierung DF, das iſt/ BE, ſo verhält ſich/ tvie B D gegenB E, alſo BE gegen A B ; dero- 
tvegenſind BC, B D, BE, BA vier gleichverhaltende/ und B E ſambt BD die zwey mittlern/ 
ivelches hat ſollen bewiesen tverden. 
x. Wasgeſtalt eine Parabel ( oder vergleichende Kegel Lini ) kunſtrichtig ſolle berzeich- 
net iverden ; oder bielmehr / daß dergleichen Lineen waarhaftig in der Natur zu finden / und 
nach ihren Eigenſchafften bekant / e auch Geometriſch ſeyen/ kan aus dem vorhergehenden 
leichtlich erhellen : ſintemal aus dem besagten klar und offenbar iſt / daß alle und jede Puncten 
ſolcher Lini / ohne Unterſcheid / auf eine getwiſſe allgemeine Weiſe können beſtimmet tverden. 
Dann wann ich zum Exempel auf der Mittel- Lini BE einen Punct nehme nach Belieben ( zum 
Exempel E) und alsdannzwiſchenB C und U E die mittlere gleichverhaltende B D finde / nach 
dem 13den des V I. und aus dem genommenen Punct E aufrichte eine ſenkrechté Lini / EF , 
gleich B D ; ſo iſt F ein Punct/ durch welchen die begehrte Lini nohtwendig ſtreichen muß / und 
ſolcher geſtalt können alle andere Puncten beſtimmet tverden/ aufs wenigſte in Gedantten/ wel- 
ches zu einer Geometriſchen und kunſtrichtigen Lini ſchon genugsam iſt/ dieweil der Verſtand/ 
in dem er alle Puncten ( wieſie zu finden ) tvürklich für ſich ſihet / zugleich auch die ganze Lini 
ivürklich und kunſtrichtig ziehet/ nicht anderſt/ als er eine Kreiß-Lini verzeichnet/ tvann er mit 
dem einen Fuß des Cirkels umb den Mittelpunct durch alle Puncten des Umblauffs gleichſam 
Herumblauffet. Daß aber vermittelſt ſolcher Punctfindung dergleichen Lineen auf dem Papier 
fein nett und ununterbrochen nicht können gezogen tverden|/ daraus iſt vielmehr zu ſchlieſſen/ 
daß dieſe Weiſe/ eine Lini zu beſchreiben / gar zu Geometriſch ( das iſt/ zu ſubtil/ alſo daß ſie nur 
bondemVerſtand kanverrichtet werden ) und nicht recht Mechaniſch ſey / als daß man umb- 
gekehrt ( vie bißher von vielen unbedachtſam geſchehen ) dieselbe unter die Mechaniſche rech- 
nen/ und von denen Geometriſchen ausſchlieſſen wolte. 
Damit aber noch deulicher erhelle / daß die in der Auflöſung GDenechmi begehrte Lini 
ihre kunſtrichtige und Geometriſche Beſchreibung/ ſo tvol als die Kreiß-Lini/ habe/ und daher 
unter die Mechaniſche keinestveges gehöre / wollen wir hier einen Weg zeigen / tvie ſie durch 
fr hrwiſ:! unverrukkte und ununterbrochene Betvegung eines Punctes gezeiget oder ver- 
zeichnet iverde. 
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