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Differentialgleichungen. 
Setzt man nun: 
km — 1 — a = k'm — 1 — a ; kn — 1 — ß = k'n — 1 — ß' (3) 
so werden beide Faktoren identisch, man kommt zu einem Faktor 
des ganzen gegebenen Ausdrucks. Berechnet man aus (3) k und k', 
so erhält man: 
^ n\a — a) — ni (ß — ß') n(a —a) — m(ß — ß') 
m n' — win wi n — win 
aus welchen Ausdrücken hervorgeht, daß die Methode unbrauchbar 
wird, wenn: , , _ 
mn —mn — u 
oder: m:m' — n:n 
Nennt man aber den Wert dieses Verhältnisses ^ , so wird 
ans - ’ (x a yß -|- Xx a 'yß') (my dx nxdy) = 0 
oder: my dx -j- nx dy = 0 
und daher von der einfacheren Form, die wir oben besprochen 
haben. — Man betrachte z. B.: 
y 3 (ydx — 2xdy) -|- x* (2 y dx -j- xdy) = 0 
Hier ist: 
m= 1 n = — 2 a = 0 ß=3 
wi = 2 n' = 1 a = 4 ß’ = 0 
daher lauten die Gleichungen (3): 
k — 1 = 2 A:' — 5 — 2k — 4 = fe'— 1 
woraus & = — 2, und daher als integrierender Faktor x~ 3 folgt, so 
daß die Gleichung nach Multiplikation mit ihm lautet: 
(x~ 3 y* -{- 2xy) dx -|- (x 2 — 2x~ 2 y 3 )dy = 0 
wo die linke Seite jetzt ein vollständiges Differential ist. 
Das Integral lautet: 
2 x 2 y — y*x~ 2 = C 
2. Ist die Gleichung: 
Mdx -)- Ndy = 0 
homogen, so ist: , ein integrierender Faktor. Denn 
Mx Ny 
gesetzt, es sei Mdx -j- Ndy vom Grade m, ¡jl ein integrierender 
Faktor vom Grade n, so ist: 
¡u Mdx¡iiNdy = du (4) 
vom Grade m-\-n, daher u vom Grade 1. Nach dem 
Euler sehen Satz über homogene Funktionen (§17) ist daher: 
/uMx -f- fxNy — {wi -j- n -f- 1) u .... (5)