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ŒUVRES DE FERMAT. 
[116, 117] 
sera de méme pour toutes les autres sections planes. Il est donc clair, 
d'aprés le lemme 1, que le lieu cherché est une surface plane. 
Si la somme d'une partie déterminée des droites ainsi menées est à 
la somme des autres dans un rapport donné ou dans une différence 
donnée, ou si elle est plus grande ou plus petite d'une quantité donnée que 
dans un rapport donné, le point sera de méme sur une surface plane 
donnee de position. 
D'ailleurs, dans les questions précédentes, si les plans donnés 
avaient été paralléles entre eux, le lieu eüt été également une surface 
plane, ce qu'il est à peine nécessaire de remarquer. 
Comme couronnement, j'ajouterai encore une notable extension du 
lieu à trois ou quatre droites d'Apollonius: : 
Soient trois plans donnés de position ; st d'un point donné on mêne aux 
plans donnés, sous des angles donnes, des droites telles que le produit de 
deux d'entre elles soit au carré de la troisiéme dans un rapport donné, le 
lieu du point sera soit un plan, soit une sphère, soit un sphéroide, soit un 
conoide, soit une surface conique ou cylindrique (des anciens ou nouvelle), 
selon la diverse situation des plans donnes. 
De méme pour quatre plans, ainsi qu'il sera aisé de le voir. 
Les divers cas, les conditions-limites pour les données, les pro- 
blémes ou théorémes locaux en nombre infini que nous avons omis 
pour étre plus bref, la démonstration des lemmes énoncés et tout ce 
qui aurait peut-étre besoin d'une plus longue explication, sera facile- 
ment suppléé par tout géométre soigneux et réfléchi qui aura lu cet 
écrit; désormais ce sujet, qui paraissait singulièrement ardu, est 
rendu aisé à comprendre. 
Toulouse, 6 janvier 1643