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(127, 
DISSERTATION EN TROIS PARTIES. 
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TROISIEME PARTIE DE LA DISSERTATION. 
Cela peut suflire pour la theorie generale; car les problemes que 
Descartes donne comme résolubles au moyen de courbes d'un degré 
trop élevé, nous les avons heureusement abaissés par une méthode 
générale à des courbes d'un degré moitié moindre. Mais on doit com- 
prendre ceci en ce sens qu'il faut au moins ce degré pour toutes les 
questions absolument, car une infinité de cas spéciaux.se prêtent à un 
abaissement encore plus grand. Je veux donc aller plus loin et ramener 
l'analyse cartésienne, non seulement à des termes de degré moitié 
moindre, mais à des degrés 4 fois, 6 fois, roo fois, et indéfiniment 
moins élevés pour certains cas. On reconnaitra miéux ainsi l'erreur 
de Descartes, et elle trouvera sa correétion immédiate par l'analyse ; 
au reste, je désignerai, ce qui est plus commode, dans les degrés éle- 
vés, les puissances par les nombres que comportent leurs exposants. 
Soit proposé de trouver six moyennes proportionnelles entre deux don- 
nées. Soient b et d les deux données, a la première moyenne à trouver, 
on a l'équation' a? — b°d. D'après Descartes, cette équation ne peut 
étre résolue que par des courbes du 5* ou du 6* degré. Dans la seconde 
Partie de cette Dissertation, elle est, avec. toutes les autres de méme 
nature, résolue généralement par des courbes du 4° degré. Mais rien 
ne nous empêche de la résoudre par des courbes du 3° degré. Égalons 
en effet chacun des membres de l'équation au terme a'e?d. Si, dans 
l’équation avec a’, on divise de part et d'autre part par a*, il vient 
ed —a°, ce qui donne, comme on voit, une courbe du 3° degré. De 
l'autre côté, a*e*d = 6°d; divisant par d et extrayant la racine carrée, 
^e — D?, ce qui donne également une courbe du 3° degré. L'inter- 
section de ces deux courbes donnera la valeur de a, c'est-à-dire la so- 
lution du problème proposé au moyen de courbes du 3° degré. 
Soit proposé maintenant de trouver douze moyennes proportionnelles 
entre deux données; l'équation sera a'*= b'?d. Descartes a pensé 
qu'elle ne peut se résoudre que par des courbes du 11° ou 12° degré.