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[174, 175] 
MAXIMA ET MINIMA. 
153 
les lignes quelconques MNH, MRH, brisees sur le diametre aux points 
N et H. 
La vitesse du mobile sur MN dans le milieu rare étant plus grande, 
d’après l’axiome ou le postulat, que la vitesse du méme mobile sur NH, 
et les mouvements étant supposés uniformes dans chacun des deux 
milieux, le rapport du temps du mouvement sur MN au temps du 
mouvement sur NH sera, comme on sait, le produit du rapport de MN 
à NH et du rapport inverse des vitesses sur NH et sur MN. Soit donc 
, vitesse sur MN MN temps sur MN IN 
P^?" vitesse sur NH ^ NI ^ 9^ *"T? (amps sur NH — NH 
On prouvera de méme que si le rapport de la vitesse dans le milieu 
rare à la vitesse dans le milieu dense est 4, on aura CMPSSur MR _ PR. 
RP temps sur RH RH 
D'où il suit que temps sur MNH E IN-- NH. 
temps sur MRH PR + RH 
Or, puisque c'est la nature qui dirige la lumiere du point M vers le 
point H, nous devons chercher un point, soit N, par lequel la lumière, 
en s'infléchissant ou se réfractant, parviendra dans le temps le plus 
court du point M au point H; car on doit admettre que la nature, qui 
mène le plus vite possible ses opérations, visera d’elle-même ce 
point-là. Si donc la somme IN + NH, qui mesure le temps du mouve- 
ment sur la ligne brisée MNH, est une quantité minima, nous aurons 
atteint notre but. 
L'énoncé du théorème de Descartes donne ce minimum, comme 
nous allons aussitôt le prouver par un véritable raisonnement géomé- 
trique et sans aucune ambiguïté. Voici en effet cet énoncé : 
Si du point M on mène le rayon MN, que du même point M on abaisse 
la perpendiculaire MD, puis que l’on prenne - dans le rapport de la 
plus grande vitesse à la moindre, qu'enfin on éleve en S la perpendi- 
culaire SH et que l’on mène le rayon NH, la lumière incidente au 
point N dans le milieu rare se réfractera dans le milieu dense du côté 
de la perpendiculaire vers le point H. 
C’est ce théorème qui est en accord avec notre Géométrie, comme 
il résulte de la proposition suivante purement géométrique. 
Frernmar. — III. 
21 
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