8, 239] 
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soient 
egale- 
mple, 
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1xe par 
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M, de 
[239, 240] 
NE 
kg 
DISSERTATION GÉOMÉTRIQUE. 
205 
et ainsi pour les autres), je dis que les deux courbes AIF, 328 son: 
égales, ou plutôt semblables et identiques, les ordonnées d’une figure 
étant égales à celles de l’autre également distantes du sommet. 
Menons en effet sur la première figure, par les points H, I, M, les 
segments de tangentes HO, IN, MR, rencontrant les ordonnées aux 
points O, N, R'; sur la seconde figure, les segments de tangentes 9 V, 
ZY, TX, rencontrant les ordonnées aux points V, Y, X. On suppose 
FE 7. Mais les angles en E, 7 sont droits; donc les triangles FEK, 
EK . 72 $ 
FK 82 : * 49 
872, semblables; done KE = 52° Mais, si l'on prolonge les ordon- 
, . , . ; FK __ FG 82 SP 
nées, DH jusqu'en G, 69 jusqu'en P, KE pp e n6 donc 
FG  8P . . 
DE = 6. Mais DE = 67, puisque EA — 73, et DA — 63; done 
FG — 8P. 
On prouvera de même pour les autres segments de tangentes que : 
HO — 9V, IN — ZY, MR — TX. 
Donc la série des tangentes de la première figure est égale à la 
série des tangentes de la seconde, d’où, par la méthode d’Archimède 
de réduction à l’impossible, on conclura facilement l’égalité des 
courbes AIF et 3Z8, premier point à établir, ainsi que l’égalité des 
ares correspondants : FH — 89, HI — 9Z, etc. 
Reste à prouver que les ordonnées de l’une des figures sont égales 
à celles de l’autre. 
D'après la supposition faite, les ordonnées sont, de part et d’autre, 
dans le méme rapport avec les sous-tangentes; donc les angles GFE, 
P87, formés par les tangentes et les ordonnées, sont égaux. De méme 
OHD = 96, NIC = Y23, RMB = XT, D'ailleurs, tous les arcs de la 
premiére courbe, FH, HI, IM, MA sont respectivement égaux aux ares 
de la seconde, 99, 9Z, ZI, T3, et l'inclinaison de ces ares est constam- 
ment la méme de part et d'autre (car l'inclinaison des courbes est 
mésurée par celle des tangentes qui font toujours, comme nous 
l'avons prouvé, des angles égaux dans les deux figures). Donc les 
courbes AMIFH, 3TZ98 sont non seulement égales entre elles, mais