258 ] 
jue 
par 
ne 
ant 
rol- 
les 
ISse 
ral- 
IF; 
HO, 
ntre 
chi- 
TIp- 
ger 
tous 
HO 
OM 
| des 
AG. 
AH’ 
autre 
arlı0- 
rap- 
aura 
HA 
AG 
MÉTHODE DE QUADRATURE. 
On prouvera de méme que N — A0. 
xOM HA 
Mais les droites AO, HA, GA qui constituent les rapports des paral- 
lélogrammes, forment, par construction, une proportion géométrique; 
donc les parallélogrammes en nombre indéfini GE GH, HI x HO, 
ON x NM, etc. formeront une progression géométrique continue dont 
la raison sera LE Par suite, selon le théorème constitutif de notre 
méthode, GH, différence des deux termes de la raison, sera au plus 
petit terme GA, comme le premier terme de la progression des paral- 
lélogrammes, c’est-à-dire comme le parallélogramme EG < GH, à la 
somme de tous les autres parallélogrammes en nombre indéfini, ou 
autrement, suivant l’adéquation d' Archimede, à la figure limitée par 
HI, par l'asymptote HR et la courbe IND prolongée indéfiniment. 
Mais, si l'on multiplie les deux termes par GE, t = op, 
donc GE xx GH est à cette figure indéfinie dont la base est HI comme 
GE x GH est à GE < GA. Donc le parallélogramme GE x GA, qui est 
une aire rectiligne donnée, est adégal à la figure précitée; si l’on 
ajoute de part et d’autre le parallélogramme GE >< GH, qui, par suite 
des divisions indéfiniment poursuivies, s'évanouira et se réduira à 
rien, on arrive à cette vérité qu'il serait facile de confirmer par une 
démonstration plus prolixe, menée à la facon d'Archimede : que dans 
ce genre d'hyperbole, le parallélogramme AE est équivalent à la figure 
comprise sous la base GE, l'asymptote GR et la courbe ED indéfini- 
ment prolongée. 
Il est facile d'étendre cette invention à toutes les hyperboles définies 
ci-dessus, sauf la seule exception que nous avons indiquée. Soit en 
effet une autre hyperbole ayant pour propriété que or == Hv, ete. 
pour les autres ordonnées. 
Prenons, comme ci-dessus, une série indéfinie de termes en pro- 
gression; on démontrera de méme que les parallélogrammes EH, 10, 
MN, etc. forment de même une progression indéfinie; mais, dans ce 
Cas, le rapport du premier parallélogramme au second, du second au 
219