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(EUVRES DE FERMAT. 
[259, 2601 
troisieme, etc. sera AS, ce que montrera immédiatement la composi- 
tion des rapports. Done le parallélogramme EH sera à la figure comme 
OG à GA, ou, en multipliant les termes par GE, comme OG x GE à 
GE >< GA : vicissim 0G >< GE est à EH ou GE x GH comme GE x GA ä la 
figure. Mais OL x ue = SH ou i par adéquation; car les intervalles 
voisins de la base sont, par construction, sensiblement égaux entre 
eux. Donc, dans cette hyperbole, le parallélogramme EGA, qui est 
égal à une aire rectiligne donnée, sera le double de la figure com- 
prise sous la base GE, l'asymptote GR et la courbe ESD indéfiniment 
prolongée. 
La démonstration sera la méme dans tous les autres cas; il n'y 
a que pour la premiere hyperbole, c'est-à-dire la simple ou celle 
d'Apollonius, que la méthode est en défaut. La raison en est que 
les parallélogrammes EH, IO, NM y sont toujours égaux; les termes 
constitutifs de la progression, étant des lors égaux entre eux, ne 
donnent aucune différence, et c'est précisément la différence qui 
fait tout le mystère de cette affaire. 
Je n’ajoute pas la démonstration que, dans l’hyperbole commune, 
les parallélogrammes en question sont toujours égaux; la chose se 
voit immédiatement et dérive aussitôt de cette propriété de l'espéce 
que l'on a toujours ul == t 
Le méme moyen carre toutes les paraboles sans qu'il y en ait cette fous 
une seule qui, comme pour les hyperboles, échappe à notre méthode. 
Je ne donnerai qu’un exemple, celui de la première parabole, celle 
d’Apollonius; sur ce modèle, on pourra faire toutes les démonstra- 
tions pour les paraboles quelconques à l’infini. 
Soit AGRC une semi-parabole première (fig. 143), de diamètre CB, 
de demi-base AB. Si l’on prend les ordonnées IE, ON, GM, etc., on à 
toujours s — os ON: zzz pa etc, à l'infini, d'apres la propriété 
spécifique de la parabole d'Apollonius. 
D'aprés la méthode, imaginons les droites BC, EC, NC, MC, HC, etc.,