[296, 297 ] OBSERVATIONS SUR DIOPHANTE. 
j'ai ici de nombres distinets, à savoir deux, et je multiplie entre eux 
ces facteurs premiers en les affectant des exposants r et 2; pourvu que 
ces facteurs premiers soient de la forme 4n 4- 1, j'aurai ainsi (en mul- 
tipliant l'un par le carré de l'autre) un nombre satisfaisant à la ques- 
tion proposée. 
Il est dés lors facile de trouver le nombre minimum qui soit hypo- 
ténuse d'autant de façons que l’on voudra. 
Trouver un nombre qui soit somme de deux carrés d ‘autant de façons 
que l'on voudra. 
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Soit proposé de ro facons; je prends tous les facteurs premiers du 
double 20 : j'ai 2.2.5. De chacun de ces nombres je retranche l'unité; 
il vient 1.1.4. P'aurai en conséquence à prendre trois nombres pre- 
miers de la forme 4n +1, par exemple, les nombres 5, 13, 17; à 
cause de l'exposant 4, je prendrai la quatriéme puissance de l'un de 
ces nombres, je la multiplierai par les deux autres, et j'aurai ainsi le 
nombre cherché. 
Il est d'apres cela facile de trouver le nombre minimum qui ‘soit 
somme de deux carrés d’autant de facons qu'on le voudra. 
Pour reconnaitre de combien de facons differentes un. nombre donne 
est somme de deux carrés, voici la méthode. 
Soit proposé le nombre 325. Ses diviseurs premiers, de la forme 
Án 1, sont: 5 par son carré, 13 simplement. Je prends les expo- 
sants : 2. r. J'ajoute leur produit à leur somme, ce qui fait 5; j'ajoute 
l'unité, ce qui fait 6; je prends la moitié, 3. Le nombre donné sera 
somme de deux carrés de trois facons différentes. 
Si l’on a trois exposants, par exemple : 2.2.1, voici comment on 
opérera. Je prends le produit des deux premiers et j'ajoute leur 
somme, ce qui fait 8. Je multiplie 8 par le troisième et j ajoute la 
somme des facteurs, ce qui fait 17. J'ajoute enfin l’unité, ce qui fait 
18, dont la moitié est 9. Le nombre proposé sera somme de deux 
carrés de neuf facons différentes. 
Si le dernier nombre dont on aurait à prendre la moitié se trouvait