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(EUVRES DE FERMAT. 
[ 324, 325] 
Soient a et b les nombres generateurs de l'un des triangles, a et d 
ceux de l'autre. 
Pour le premier, le produit de l'hypoténuse et de la hauteur sera 
9 ba? + 2b*a; 
Pour le second, le même produit sera 2 da* + oda. On demande 
que le premier de ces produits soit double du second : par consé- 
quent 
7o» OY 
L7 
ba? + b?a = 2 da* + 2 da. 
Divisant tous les termes par a, 
transposant : 
baà-- b3— 2 da? -- 2d; 
9 d? — b?— ba? — 2 da’. 
Pour résoudre la question, il faut done que le quotient de 2d? — 6° 
par b — 2d soit un carré. 
Il s’agit par suite de trouver deux nombres, 5 et d, tels que l'excès 
du double du cube de l’un sur le cube de l'autre donne un carré, si 
on le divise ou si on le multiplie (car cela revient au méme) par l'ex- 
ces du double du second sur le premier. 
Soient x + 1 l’un de ces nombres et 1 l'autre. L’excès du double 
du cube du premier sur le cube du second est 1 + 6x + 62° + 22%; 
l'exces du double du second nombre sur le premier est r — c. Le 
produit de 1 + 6x + 62° + „x? par 1 — æ doit être un carré. Or ce 
produit est 1 + 5x — ha? — 22%, qu'on peut égaler au carré de 
{42a — 22 a*. Le reste n'offre plus de difficulté. 
Pour étendre cette méthode au cas d’un rapport quelconque, il 
suffira de prendre, pour l’un des nombres, la somme de c et de l'excés 
du plus grand terme du rapport sur le moindre; pour l'autre nombre, 
ce méme exces; c'est ce que nous avons fait au reste pour le rapport 
de 2 à 1. De cette façon en effet le terme indépendant de æ dans le 
produit final sera un carré, et l'équation pourra se traiter facilement; 
sa solution conduira à deux nombres représentant b et d et l'on 
remontera ainsi au probleme primitif. 
En revovant ce que j'ai écrit ci-dessus sur cette question de Dio-