| 
[327, 329] 
OBSERVATIONS SUR DIOPHANTE. 
96: 
5 
34. — Diophante, VI, 3. 
A 
ue 
« Trouver un triangle rectangle en nombres, dont l'aire, augmentée d'un nombre donné, 
fasse un carré. » — Vièle avait supposé à tort, comme le remarque Bachet, que le nombre 
donné devait être la somme de deux carrés. Dans les problèmes suivants, l’aire doit être 
diminuée ou retranchée d’un nombre donné. 
me 
1€, 
ple 
Lon 
ans 
era 
jet 
écé- 
mes 
‘rés, 
à la 
eux, 
pour 
Me à 
le ce 
jt un 
thode 
Voici sans doute l'origine de l'erreur de Viéte : cet illustre savant 
aura égalé l'aire à la différence de deux bicarrés (*), comme z^— 1, 
pour en faire un carré, en y ajoutant le quintuple d'un carré, 5 étant 
le nombre donné. 
Ce dernier nombre étant somme de deux carrés, on peut en effet 
trouver un carré, dont le quintuple, diminué d'une unité, fasse un 
carré. Prenons pour raéine de ce carré à quintupler x + 1 (le coeffi- 
cient de æ pourrait être pris différent de l’unité); le quintuple du 
carré sera 52? 4- 102 4- 5; en ajoutant l'aire, æ* — 1, on a la somme 
T+ 5x + 102 + 4, à égaler à un carré, ce qui est aisé, le terme 
indépendant de z étant carré, par suite de l'hvpothése ajoutée comme 
condition. 
Mais Viète n’a pas vu que le problème peut se résoudre tout aussi 
bien en prenant pour l'aire, non pas x* — 1, mais r — x*: car alors la 
question se ramène immédiatement à faire que le nombre donné, 5, 
6, ou tout autre quelconque, multiplié par un carré, fasse un autre 
carré, après addition de l'unité; ce qui peut se résoudre tres facile- 
ment et sans exception, puisque l'unité est un carré. 
J'ai résolu cette question, ainsi que les deux suivantes, par une 
méthode particulière, qui permet, si nous cherchons, par exemple, 
un triangle dont l'aire, augmentée de 5, fasse un carré, de donner un 
tel triangle en nombres minimi : 5 50 53 l’aire est 20, et en ajod- 
lant 5, donne le carré 25. 
(1) Cest effectivement la marche que suit Diophante, et qui revient à supposer carré le 
rapport des deux nombres générateurs du triangle. La solution de Viéte (Zetet., V, 9) 
est présentée sous forme synthétique et correspond à une combinaison particulière : lo 
nombre donné étant supposé de la forme r?--5?, il prend pour nombres générateurs 
(r-- sY eL (r — s)? et diviseles côtés du triangle par 3(» +— s)(r — 52 
Fenmar. — TH 
34