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OBSERVATIONS SUR DIOPHANTE. 
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voir 
42. — Diophante, VI, 19 
« Trouver un triangle rectangle, tel que le périmétre en soit un cube et que la somme 
de l'aire et de l'hypoténuse fasse un carré. 
» ... Il faut trouver un carré qui, augmenté de 2, fasse un cube.... » 
Peut-il y avoir, en nombres entiers, un autre carre que 25 qui, aug- 
menté de 2, fasse un cube? Cela parait certainement au premier abord 
difficile à discuter; cependant, je puis prouver, par une démonstra- 
tion rigoureuse, que 25 est bien le seul carré entier qui soit inférieur 
à un cube de deux unités. En nombres fractionnaires, la méthode de 
Bachet fournit une infinité de tels carrés, mais la théorie des nombres 
entiers, qui est très belle et très subtile, n’a pas été connue jusqu’à 
présent, ni par Bachet, ni par aucun auteur dont j'aie vu les écrits. 
43. — Commentaire de Bachet sur Diophante, VI, 24. 
« Ce commentaire est consacré à la théorie de la double équation. » 
deux 
qui, 
ingle 
"hvpo- 
| qui. 
> l’hy- 
carre. 
Là oü ne suffisent pas les equations doubles ou ÖLTÄOLTÖTNTEG, il faut 
recourir à des équations triples ou «gvzAowérvnec, découverte qui m'ap- 
partient et qui conduit à la solution d'une foule de trés beaux pro- 
blemes. 
Soit, par exemple, à égaler à des carrés les expressions 
x +4 2x +4, 5x —+—4, 
il y a là une équation triple qu'il est aisé de résoudre par l'intermé- 
diaire d'une équation double. 
SI, en effet, on substitue à æ une expression qui, augmentée de 4, 
fasse un carré, par exemple x? + 4œ, les trois expressions ci-dessus à 
égaler à des carrés deviendront 
- 
22+ ha +4, 22*+8x +4, BET 200 4 A. 
La premiére est un carré par construction ; il reste donc à satisfaire 
aux conditions 
22?-- 8x -- 4 —[, 92x? -4- 202 -- 4 — (],