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OBSERVATIONS SUR DIOPHANTE. 
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46. — Commentaire de Bachet sur Diophante Nomb. polyg. 9. 
IX 
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« Trouver un polygone, le côté en étant donné, et inversement. » 
Je mettrai ici, sans démonstration, une proposition très belle et très 
remarquable que j'ai découverte : 
Dans la progression naturelle commencant à l'unité, le produit 
d’un nombre quelconque par le nombre immédiatement supérieur 
fait le double du triangle du premier nombre; si le multiplicateur est 
le triangle du nombre immédiatement supérieur, on a le triple de la 
pyramide du premier nombre; si c'est la pyramide du nombre immé- 
diatement supérieur, on a le quadruple du triangulotriangulaire du 
premier nombre; et ainsi de suite indéfiniment, suivant une regle 
uniforme et générale. 
J'estime qu’on ne peut énoncer sur les nombres de théorème qui 
soit plus beau ou plus général. Je n'ai ni le temps ni la place d'en 
mettre là démonstration sur cette marge. 
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47. — Bachet, Appendice, II, 27. 
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« 1=18, J +5 = 923 7 4+9-+11= 33, 13 +15 +17 419 = 43, Vu.» 
Voici comment j'énoncerai cette proposition d'une facon plus géné- 
rale : 
Dans toute progression constitutive de polygone, l'unité constitue 
la première colonne ; la somme des deux nombres suivants, diminuée 
du premier triangle multiplié, par l'excès sur 4 du nombre des angles 
du polygone, forme la seconde colonne; la somme des trois nombres 
suivants, diminuée du second triangle multiplié par l'excés sur 4 du 
nombre des angles du polygone, forme la troisième colonne; et ainsi 
de suite indéfiniment, suivant la même loi (*). 
(*) Soit la progression arithmétique commençant à l’unité, et de raison &—»: 1, 
t= (k—2), 1+2(k—2), ..., 14 (2 —1) (k—2), 12- n(k— 2), ...: le n*"* poly- 
FEnMAT. — IH. 2k