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[9, 10] 
LIEUX PLANS D’APOLLONIUS. 
Soit l'angle BHE égal à l'angle donné, et HE dans le rapport donné. 
La droite HE sera donnée de position, ainsi que le point E. De ce 
point E j'éléve sur la droite HE la perpendiculaire indéfinie DEG; elle 
sera donnée de position. Prenant sur AF un point C quelconque, et 
joignant HC, je fais l'angle CHI égal au donné : je dis que A est dans 
le rapport donné. 
En effet, les angles BHE, CHI étant égaux, si je retranche la partie 
commune CHE, les angles BHC, EHI seront égaux. Ceux en B et E sont 
droits; donc les triangles HBC, HEI sont semblables. Donc € = mE, 
et vicissim WE = m : c’est le rapport donné. 
Si donc du point donné H on mène deux droites HC, HI sous un 
angle donné CHI et dans un rapport donné, et si le point C de l’une HC 
se trouve sur une droite donnée de position, l’extrémité de l’autre se 
trouve sur un lieu plan, la droite DG, dont la position est donnée, 
comme il a été prouvé. 
Si la première extrémité se trouve sur un cercle, soit À le point 
Fig. 6. 
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donné ( fig. 6), IE le cercle donné de position, F son centre. Joignez 
FA qui coupe le cercle en I; soit un angle IAD égal au donné, et A 
dans le rapport donné. AD sera donnée de position ainsi que le point D. 
Prolongez et soit a = ir. De C comme centre, décrivez le cercle DB, 
FERMAT. — HL.