316 (EUVRES DE FERMAT. — CORRESPONDANCE. [404, 405! 
rais-je pas un semblable secours de vos éminents correspondants, 
pourquoi, Conon français, ne trouverais-je pas des Archimèdes 
anglais? 
1° Toutes les puissances du nombre 2, avant pour exposant un des 
termes de la progression géométrique suivant la raison du même 
nombre 2, donnent des nombres premiers, si on leur ajoute l’unité. 
Soit la progression géométrique suivant la raison 2, avec ses expo- 
sants : 
; 1 2 3 4 5 6 7 
9, Á. 8. 16. 32. 64. 128. 256. 
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Le premier terme 2, augmenté de l'unité, fait 3, nombre premier. 
Le second terme 4, augmenté de l'unité, fait 5, nombre premier. 
Le quatrième terme 16, augmenté de l'unité, fait 17, nombre 
premier. 
Le huitième terme 256, augmenté de l'unité, fait 257, nombre 
premier. 
Prenez en général toutes les puissances de 2, dont l’exposant est 
un terme de la progression, il en sera de mème. Ainsi, le seizième est 
65 536; ajoutant 1, on a 65 537, qui est premier. De cette facon, on 
peut déterminer et caleuler sans difficulté un nombre premier plus 
grand que tout nombre donné. 
Je demande une démonstration de cette proposition, qui est certal- 
nement trés belle, que je crois trés vraie, et grâce à laquelle on peut, 
comme je viens de le dire, résoudre immédiatement un problème 
autrement très difficile, savoir : étant donné un nombre quelconque, 
trouver un nombre premier qui soit plus grand. Et cela donnera peut- 
ètre à vos éminents correspondants la clef pour pénétrer tout le mys- 
tère des nombres premiers, c’est-à-dire étant donné un nombre quel- 
conque, reconnaitre, par la voie la plus facile et la plus courte, s’il 
est premier ou composé. 
5» Le double de tout nombre premier, de la forme 8n — 1r, est 
somme de trois carrés. 
Soit un nombre premier quelconque de la forme 87 — 1, comme 7.