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repre- 
autre. 
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LIEUX PLANS D'APOLLONIUS. 
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Je ne m'arréte pas aux divers cas. — Si l'on donne cinq points, la 
somme des carrés des distances des points donnés au point N dé- 
passe de 5DN? la somme des carrés des distances des points donnés 
au point D : la démonstration est la méme. 
Il ressort de là que la somme des carrés des distances au point D est 
minima. 
Dans cet exposé, je n'ajoute pas une trop scrupuleuse observation 
des différents cas. La conclusion du second lemme se raménera tou- 
jours à prouver que la somme des rectangles en plus est égale à celle 
des rectangles en moins, et la question sera ainsi ramenée au premier 
lemme. 
PREMIÈRE PROPOSITION GÉNÉRALE. — Soient, sur la même figure, tou- 
jours donnés quatre points A, B, C, E sur la droite AE, et 
AD -—{(AB + AC + AE), 
avec le 
ED.DN. 
lus est 
On sera 
fraction conditionnée. On propose, étant donnée une aire Z, de trouver 
un cercle, tel qu'en prenant sur la circonférence un point quelconque, la 
somme des carrés de ses distances aux points donnés soit égale à l'aire 
donnee. 
Pour que le probleme soit possible, il faut, d'apres ce qui a été 
démontré, que l'aire Z — AD? + BD? + CD? + ED?. 
Soit donc 4DN? égal à l’excès de Z sur la somme des quatre carrés; 
le cercle décrit de D comme centre avec DN pour ravon satisfera à la 
question. 
En effet, prenons d’abord le point N (fg. 39) de l'un et de l'autre 
ny 
"D.DN. 
AN 
cöte. Il a été prouvé par le second lemme que 
AN? + NB? + CN? + EN?— AD: + BD? + CD? ED?-- 4DN?;