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(EUVRES DE FERMAT. 
[42, 43] 
mais AD? + BD? + CD? + ED? 4- 4DN? — Z. Done 
AN? + BN: + CN? + EN?=Z Taire donnée. 
C. Q. F. D. 
Elevez maintenant la perpendiculaire DM et joignez AM, BM, CM, 
EM. Je dis que la somme de leurs carrés est égale à l'aire donnée Z. 
En effet 
AM? — AD? + DM? 
BM? — BD? 4- DM? 
CM? — CD? + DM? 
EM? — ED? + DM? 
Done 
AM? 4- BM? 2- CM? -- EM? — AD? 4- BD? 4- CD? -- ED? 4- 4ADM? (— 4DN?). 
Mais AD? + BD? + CD? + ED*+4DN° = Z (l'aire donnée). Donc 
AM? + BM? + CM? + EM? = l'aire donnée. 
Menons maintenant le point M ( fg. 40) quelconque, et abaissons 
la perpendiculaire MO. On prouvera de meme que 
AM? + BM? + CM? + EM? — 40M? 4- AO? —- BO? CO? — EO*. 
D’apres le second lemme, la somme de ces quatre derniers carres 
est égale à la somme AD? + BD? + CD? 4- ED? 4- 40D?. Done 
AM? + BM? +— CM? + EM? — AD? -- BD? + CD? + ED? + 4OD? + 4 OM?. 
Mais 40D? + 4 0M? = 4DM? = 4 DN?, les rayons DM et DN étant égaux. 
Donc 
AM? + BM? + CM? + EM? 
=— AD? + BD? 4- CD? 4- ED? 2- ADN? — Z (l'aire donnée). C. Q. F. D. 
Si l’on achève les cercles, la même démonstration s'appliquera pour