[44, 45] 
points 
, F, et 
comme 
on aıt 
| 45, 46] 
Mais 4DI? = 4 DX? + 4 XI? et OI* = OX? + XI. Donc 
LIEUX PLANS D'APOLLONIUS. 
Le) 
Z— 4DX*(= 41Y?) - XO* (-— VQ?) +5XP. 
Ajoutez de part et d'autre AD? 4- RD? -- BD? 4- CD? «- ED'^, vous aurez, 
dans le premier membre, l'espace donné, car, par hypothese, il est 
égal à la somme de ces cinq carrés et de Z; dans le second membre : 
AI? + BP + CP + EP? + QI”, somme qui sera donc égale à l’espace 
donné. 
En effet, d’apres le second lemme : 
AD? + RD? + BD? + CD? + ED? + 3DY?— AY? + RY* + BY? + CY? 4- EY?; 
donc 
AD? 4- RD? 4 BD?-2- CD? + ED? - 4IY? -- VQ? -- 5DY? 
= AY? + RY + BY? 4- CY? - EY? — 4IY? 2- VQ*. 
Si, à chacun des carrés AY?, BY?, CY?, EY?, on ajoute IY?, on aura 
J 
AP -- BI? 4- CP -- EP — AY? + BY? 4- CY? 4- EY? —- 4IY?. 
Donc 
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D. Mais 
I? — 7. 
AD? + RD? + BD? + CD? +— ED? + 41Y? + VQ?+ 5DY? 
— AP 2- BP-- CP -- TE? + RY? + VQ*. 
Mais RY?(— VI) + QV?= QP. Donc 
AD? + RD? + BD? + CD? +- ED? + 41Y? + VQ?+ 5DY? 
= AP+— BP+CP+EP+ OP. 
Mais on a prouvé que le premier membre est égal à l'aire donnée: 
donc 
ATI? 4- BP 4- CP 4- EP 2- QI? — l'aire donnée. 
C. Q. F. D. 
On en déduira facilement que l'aire donnée est égale à 
AN? + BN? + CN? + EN? + QN? + 5 NM, 
ce que nous avons omis comme évident. 
Bien plus le méme artifice peut s appliquer à un nombre quelconque de 
points.