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3 2. 
Eine bekannte infinitesimale Transformation einer gewöhnlichen 
Differential-Gleichung I. 0. ist einem Integrabilitätsfaktor 
aequivalent. 
Soll die infinitesimale Transformation ôx = Et, dy = môt die 
Gleichung Ydx — Xdy — 0 in sich überführen, so ist nach dem 
Vorangehenden dazu nothwendig und hinreichend, dass die Gleichung 
En 
ox (wt) (xovg) 
besteht. Andererseits wissen wir, dass ein Integrabilitätsfaktor M 
derselben Gleichung durch 
d (MX) AMY) mq. 
Ta c dy =0 
bestimmt ist. Dies giebt unmittelbar folgendes Theorem. 
Satz 3. Führt die infinitesimale Transformation dx = Edt, dy = môt 
die Gleichung Xdy — Ydx — 0 in sich über, so ist rg on Inte- 
grabilitätsfaktor. Umgekehrt: Kennt man einen Integrabilitätsfaktor 
M, und bestimmt man zwei solche Funktionen € und 1, dass 
Le 
Xn —YE == AD 
so: gestattet unsere Differential-Gleichung die Transformation dx = 
Edt, dy = dt. 
Den ersten Theil dieses Satzes beweist man auch folgender- 
maasen. Man multiplicire.die beiden Determinanten 
2A 
de del ae. 
dx = 3 
^ 1 
nach der bekannten Regel mit einander 
dg 
A un 
dg de do de 
y ox 
Lassen wir hier © eine Lösung von 
AO=X + =0