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Lässt man jetzt f irgend eine gemeinsame Lösung IT des voll- 
ständigen Systems sein, so ist nach dem Vorangehenden auch 
B(II) = Er, att eine Lösung, und also verschwindet die linke Seite 
k 
in Gleichung (1); jede Lösung des vollständigen Systems genügt 
daher der Gleichung 
ra 
1 
i af i df 
k, dx, +.... ThE -—0 
was wieder heisst, dass eine Relation der Form 
m--n ; i ; 
Sk =o Af... x, A f= A (BE) — B (A, (D) 
m —] m 
besteht, wo alle « Funktionen der x sind. 
Umgekehrt: findet für alle Werthe von i eine solche Relation 
statt, so führt unsere infinitesimale Transformation sámmtliche Lós- 
ungen in eben solche über. Denn die obenstehende Gleichung 
giebt, wenn statt f eine beliebige Lósung II gesetzt wird, 
A; (B T) = 0, 
und also ist B (IT) selbst eine Lösung, wie behauptet wurde. Dies 
giebt 
Theorem I. Soll die infinitesimale Transformation OX, = c, 8t 
sdmmtliche Lösungen des vollständigen Systems 
i df i df 
A fX ou. . +X 
i=1...r 
in ebensolche überführen, so ist, wenn wir der Kürze wegen setzen 
df . df 
Bf + . FT Te 
dazu nothwendig und hinreichend, dass v Relationen der Form 
A (B() — BA () =a A f+... +o At 
bestehen. Hier sind alle a gewisse Funktionen der x. 
Eine jede der r gefundenen Gleichungen löst sich in n solche 
auf, indem die Coefficienten der Grössen zr links und rechts iden- 
k 
tisch sein müssen. Eigentlich giebt es daher rn Bedingungs- 
Gleichungen der Form 
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