Anwendung der Transformations-Gruppen. 
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allgemeinen eine reelle durch den Punkt: xj . . . x£ gehende 
dreifach ausgedehnte Mannigfaltigkeit darstellt. 
IV. Um den Punkt: y® . . . y® herum läfst sich ein end 
licher vierfach ausgedehnter Bereich derart abgrenzen, dafs die 
folgenden Bedingungen erfüllt sind; Hält man den Punkt: yj...y2 
fest, so kann jeder andere reelle Punkt: x® . . : x® des Bereichs 
noch kontinuierlich in alle reellen Punkte: . . . x 4 übergehen, 
die der obigen Gleichung W = 0 genügen. Hält man aufser 
dem Punkte: yj...y2 noch einen zweiten reellen Punkt: z\| z£ 
des Bereichs fest, so kann jeder andere reelle Punkt: x° . . . x® 
des Bereichs noch kontinuierlich in alle reellen Punkte; x 3 . . . x 4 
des Bereichs übergehen, die der obigen Gleichung und der 
Gleichung: 
W (z£ . . . z£; x« . . . x£; x x . . . x 4 ) = 0 
genügen. Dabei wird jedesmal vorausgesetzt, dafs die beiden 
Punkte; xj...x® und Xi ...x 4 durch eine irreducible kontinuier 
liche Reihe von Punkten derselben Art verbunden sind.« 
Das dreidimensionale Gebilde, auf dem ein Punkt bei der 
Drehung um einen festen Punkt verbleibt, läfst Bewegungen in 
sich zu, für welche die beim dreidimensionalen Raume voraus 
gesetzten Axiome ausnahmslos gelten. Diese Bemerkung gestattet, 
mit besonderer Leichtigkeit für den vierfach ausgedehnten Raum 
die Folgerung aus den angegebenen Axiomen zu ziehen und 
nachzuweisen, dafs ihnen nur die Bewegungen des euklidischen, 
des Lobatschewskyschen und des Riemannschen Raumes genügen. 
5. Für den mehrdimensionalen Raum begnügt sich Lie mit 
einigen Andeutungen; indessen sind diese vollständig genügend, 
erstens ein System von ausreichenden Forderungen aufzustellen 
und zweitens den Gang der Beweise übersehen zu lassen. Wohl 
weist er darauf hin, dafs seine Voraussetzungen einfacher sind 
als die von Helmholtz aufgestellten; dennoch neigt er der Meinung 
zu, dafs auch seine Axiome noch mehr voraussetzen, als unbedingt 
notwendig ist. 
§ io. 
Eine andere Charakterisierung der eigentlichen Raumfornaen. 
1. Dem Raume legen wir wiederum von vornherein die 
durch unsere Grundsätze ausgesprochenen Eigenschaften bei; wir 
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