es. En les rédui- 
, posant 9 = qo), 
• •• = /(«), 
lésignera le plus 
3inple s’applique 
ppartient l’équa- 
■ en même temps 
g, 
h P: P’r •• • sont 
es cycles I ou III. 
s que nous appli- 
), dont la somme 
me de ces racines, 
désigné par a est 
ndu, prises à des 
;ale au nombre de 
ard, nous appelle- 
:s et diflerentes de 
an le voit aisément, 
cessions en X, nous 
s croissantes de X, 
efois p et q sont 
> <7, c’est le cas 
nombre a n est 
^al à q. 
ÉTUDE SUR LES POINTS SINGULIERS DES COURBES ALGÉBRIQUES PLANES. 
Appliquant les formules (8), (9), (ÿbis), nous trouvons pour ces 
divers cas le résultat qui suit : la classe de la courbe est le plus grand 
des deux nombres 272 +N ou 2<7H-N; son degré est 2(p + y). La 
classe et le degré se réduisent de -moitié si tous les nombres <7, /?, 
p', ... sont impairs. 
Dans cet exemple encore, au cas où l’équation est de la seconde 
catégorie, le nombre p est égal à 2 pour les cycles répondant à X infi 
niment petit. 
Exemple 3 : 
r k = cos kO. 
Le nombre k est commensurable, positif ou négatif. S'il est positif, 
nous poserons h = ( -~ ; s’il est négatif, h : — — j, q et s étant premiers 
entre eux. 
Soit d’abord k = ^ • En écrivant l’équation sous la forme 
X 
1-4OX 
on aperçoit immédiatement qu’elle est de seconde catégorie dans le 
cas seulement où s est impair. Pour abréger, traitons à la fois les 
deux cas en désignant par e le nombre 1 ou 2 suivant que s est pair 
ou impair. 
Les cycles I correspondent aux valeurs de 9 0 qui n’annulent pas 
cos/i 0 o . Il n’y a pas de cycles IL Les cycles III répondent à cos A-9 0 = o. 
Il 
On les obtient donc en faisant i-J-X* =0, ce qui donne, pour a, 2 q 
valeurs si s est impair, q seulement si s est pair. D’après notre con 
vention, ces valeurs de X sont en nombre zq. Pour chacune d’elles, 
on a un cycle III, dans lequel a = s, b — q. Donc a"'= sqs, [3"'= zq' 1 . 
Pour X infiniment petit, nous avons des cycles V, dont chacun 
répond à une détermination différente de la puissance ~ du binôme 
chacun d eux, a = 2<7, b = s si s est impair; a = q, b = - si 5 est 
pair. C’est ce qu’on exprime à la fois ainsi ; « = £</, b = £-- Nous 
avons donc