422 II, 8. Die cyclischen Untergruppen in den zur Primzahlstufe q
Entwickeln wir nämlich (m -J- ns)* 1 nach dem binomischen Lehrsatz,
so bekommen alle Glieder der Entwicklung mit Ausnahme des ersten
und letzten durch q teilbare Coefficienten:
9~1
(m -f- n s) q = m q -f- n q ■ £'> = m q -f- n q ■ e ■ N 2 .
Hier ist nun nach dem Fermat’schen Lehrsätze für die reellen Zahlen
fn q = m, n q = n, sowie für N als quadratischen Nichtrest von q
9-1
N 2 —— 1. Wir haben also in der That
(m -f- ns) q = m — ns,
womit die Congruenz (3) verificiert ist.
Sofort folgt nun aus (8) weiter A = A 9 = (mod. q), welche
Congruenz wir, insofern A von Null verschieden ist, auf die Form
reducieren können:
(4) A® 1 1 EEE 1, (mod. q).
In dieser Congruenz haben wir die Verallgemeinerung des Fermat’schen
Lehrsatzes für unsere complexen Zahlen vor uns. Da die Zahl A nur
der einen Bedingung genügen soll N nicht mit 0 (mod. q) congrueut zu
sein, so hat Congruenz (4) die wichtige Eigenschaft, gerade soviele in
congruente Wurzeln m -|- ns zu besitzen, als ihr Grad anzeigt. Wir
folgern daraus in bekannter Überlegung: Ist t irgend ein Teiler von
q 2 — 1, so besitzt die Congruenz
x* — 1 =E 0, (mod. q)
gerade x incongruente Wurzeln m -f- ns. Ist A eine unter ihnen und
besitzt dieselbe zugleich die Eigenschaft, nicht schon einer Congruenz
x r — 1 = 0 mit r'<r zu genügen, so wollen wir sagen, A gehöre
zum Exponenten x. Es ist dabei besonders wichtig, dass es auch Zahlen
giebt, die in diesem Sinne zum Exponenten {q 2 — 1) gehören, und die wir
also innerhalb des hier vorliegenden Zahlgebietes als die primitiven
Wurzeln der Primzahl q zu bezeichnen haben.
Der Existenzbeweis dieser Primitivwurzeln, um denselben hier
etwas näher auszuführen, gelingt genau durch dieselbe Überlegung, wie
bei ausschliesslich reellen Zahlen. Wir zerlegen erstlich (<q 2 — 1) in
seine reellen Primfactoren:
(f — 1 = PT l Pz* • • •
und beweisen die Existenz einer zum Exponenten p^ 1 gehörenden
Zahl A. Gehörte nämlich von den p^ 1 incongruenten Wurzeln von
x p V l = 1 keine zum Exponenten p^' 1 , so würden sie alle schon der
Congruenz x p ' H 1 = 1 genügen, was bei ihrer Anzahl pd x undenkbar
