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lieferte Pfaff*) mit Hölle einer von Lagrange gefundenen Formel. 
Wendet man die letztere in der Gestalt an, welche ihr Cauchy gege 
ben hat, so lässt sich die Sache folgendermassen darstellen. 
Es sei y 0 diejenige Wurzel der Gleichung 
3. y — xf(y) 
welche mit x gleichzeitig verschwindet, so ist nach dem Theoreme 
von lagrange **) 
rr* j» * 3 
4- Vo^-j [/•(^)](o)H- T7 2[i>/'(y) 2 ](ü) + T70 [i)V(y) 3 J(o) + -.-- 
wobei die in Klammern angehängten Nullen bedeuten, dass man nach 
geschehener Differenziation y = o zu setzen habe, wonach z. B. 
= f(0) ist. Die Bedingungen, unter welchen diese Formel 
richtig ist, bestehen darin, dass erstlich f (y), f (y), f u (y) etc. von 
y = 0 an stetig und endlich bleibende Funktionen sind, deren erste 
für y — 0 weder verschwindet noch unendlich gross wird, und dass 
zweitens der Modulus von x weniger beträgt als der Modulus des 
kleinsten x, welches man durch Auflösung der beiden Gleichungen 
5. JL r=. und x = 
f(y) f (y) f y) 
erhält; d. h. also, wenn , r n , die Wurzeln der ersten Glei 
chung in 5. sind und als deren Substitution in die zweite die speciel- 
len Werthe £ 0 , ^ , £ 2 , .... für x folgen, von denen der kleinste 
sei, so ist die Bedingung modx <C modt; 0 nothwendig. 
Nehmen wir 
f(y) 
— (y)> so gellt die vorausgesetzte Glei 
chung 3. in die zu behandelnde 
6. x = ip (y) 
über und es wird nach der Formel 4., weil jetzt f(y) = —~ ist, 
*) Disqmsitiones analyticae. Helmstadii MDCCLXXXXVIU. 
**) Man sehe hierüber mein Handbuch der Differenzialrechnung, Greifswald 
1847.