2 Definition der Delaunay-Nachbarschaft Sh 
ge 
Aus der Stochastischen Geometrie sind einige Nachbarschaftsdefinitionen bekannt. Miles /6/ untersuchte, Te 
wie stochastische Poisson-Punktfelder mit Hilfe der sogenannten Dirichlet-Zerlegung und Delaunay- Dr 
Triangulation charakterisiert werden konnen. Die Dirichlet-Zerlegung (in Lit. auch: Voronoi-Zerlegung) ist D 
eine geometrische Operation, die fir ein gegebenes Punktfeld Py, Py, ..., P,, die Ebene so in Zellen aufteilt, 
daß in jeder Zelle genau ein Punkt P; liegt und alle Punkte in dieser Zelle näher zu P; liegen als zu allen 
anderen Punkten des Punktfeldes (Abb. 1). Die entstehenden Zellgrenzen bilden ein flächenausfüllendes 
Mosaik von konvexen Polyedern, die physikalisch als EinfluBzonen einer von den Punkten ausgehenden 
homogenen, gleichzeitig beginnenden, isotropen und gleich schnellen Wirkung aufgefaßt werden können. 
In Zusammenhang mit diesem Mosaik kann die sogenannte Delaunay-Triangulation konstruiert werden. 
Sie besteht aus allen Verbindungslinien zwischen Punkten in benachbarten Dirichlet-Zellen /6, 1/. Auf der 
Grundlage dieser Konstruktion kann man den Begriff der Nachbarschaft definieren /6/: 
Als Delaunay-Nachbarn (DN) eines Punktes aus einem Punktfeld werden alle diejenigen Punkte 
bezeichnet, deren Dirichlet-Zellen eine gemeinsame Kante oder mindestens einen gemeinsamen Punkt mit Zu 
der des betrachteten Punktes haben. MI 
Aus dieser Definition ist klar, daß die Kantenlängen der Delaunay-Triangulation identisch sind mit den die 
Abständen zwischen den Nachbarn (DND - Delaunay Neighbour Distances). Daher können die da 
theoretischen Erkenntnisse über die Delaunay-Traingulation zur Bewertung herangezogen werden. Zu 
Fir planare Poisson-Punktfelder mit der Punktdichte A sind fiir die Fliche (A) der Dirichlet-Zellen, die fun 
Kantenlinge (L) der DN und die Anzahl der DN (N) folgende Gleichungen für Mittelwert und 
Standardabweichung (und damit für den Variationskoeffizienten v) bekannt /8/: 
A=), 54 =02801 2 (1) 
v(A) = 0.529, (2) 
L= 32 yn 21132077, 8? = 2- 1. 132 J ~0.311A (3) 
on 4 
v(L) = 0.492, (4) De 
Ge 
N=6, si = 1.7808 (5) lok 
v(N) = 0.222 (6). In 
Ze 
Die Variationskoeffizienten v sind unabhängig von der Punktdichte A. Da das Poisson-Punktfeld als Al 
Modell für regellose, rein zufällige Anordnung steht, können diese Werte zur Interpretation der bis 
experimentellen Ergebnisse benutzt werden. 28 
3 Prinzip der bildanalytischen Messung der Delaunay-Nachbarschaft 
Der wichtigste Schritt für die DND-Messung ist die Bildung der Dirichlet-Zellen. Für den Bildanalysator Un 
Q 570 wurde von Laferty /12/ eine morphologische Methode vorgeschlagen, die sogenannte SKIZ tes 
("skeleton by influence zone")-Operation, die ein Mosaik erzeugt. Die Methode besteht in der 
376  Prakt. Met. Sonderbd. 26 (1995)