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anitt Das Gleichungssystem (6) ist überbestimmt. In Prinzip erhält man für jedes £ eine eindeutige 
eben Lösung, d.h., man könnte sich bei der stereologischen Bestimmung der U; auf die Analyse von 
von Schnittpolygonen mit 3, 4, 5 oder 6 Ecken beschränken. Die Berücksichtigung aller Schnittprofile 
nt. hat jedoch statistische Vorteile. Für die Berechnung der d; aus Schätzwerten aller yıı kann 
wieder der EM-Algorithmus verwendet werden, vgl. [10]. Durch die zusätzliche Bestimmung der 
Eckenzahl eröffnet sich eine weitere Möglichkeit: Die Teilchen müssen nicht wie bisher durch 
Polygone gleicher Form beschrieben werden. Wie das folgende Beispiel zeigt, sind erweiterte 
Formannahmen für die Teilchen möglich. 
4 Polyeder mit zufälliger Größe und Form 
Es wird angenommen, daß die Teilchen des räumlichen Systems zufällige Polyeder bilden. Bei 
ihrer Konstruktion wird von auf einer Kugeloberfläche gleichverteilten Punkten ausgegangen. 
Ist die Anzahl j der Punkte größer als 4, dann bildet ihre konvexe Hülle ein zufälliges konvexes 
Polyeder mit j Ecken. 
BL Der zufällige maximale Durchmesser der Polyeder wird wie in den vorhergehenden Abschnit- 
ten mit U bezeichnet. Die Eckenzahl der Polyeder soll ebenfalls zufällig sein. Mit J wird die 
entsprechende diskrete Zufallszahl bezeichnet. Die so konstruierten zufälligen Polyeder sind als 
Modell für die Körner einphasiger polyedrischer Gefüge gut geeignet. Die Ecken der Körner 
liegen zwar in der Regel nicht auf einer Kugeloberfläche, theoretische Untersuchungen haben 
jedoch gezeigt, daß stereologische Analysen einphasiger Gefüge auf der Grundlage dieser Mo- 
dellannahme sehr gute Ergebnisse liefern können, vgl. [9]. 
er Die Verteilung der auf diese Weise konstruierten zufälligen Polyeder ist durch die gemeinsame 
Verteilung ihrer Größe U und Eckenzahl J bestimmt. Diese bivariate Verteilung wird durch die 
BE mittlere Anzahl der ij-Polyeder je Volumeneinheit d;; beschrieben, d.h. derjenigen Polyeder, 
den deren Größe in der i-ten Klasse liegt und die j Ecken haben. Im ebenen Schnitt werden zufällige 
S Polygone mit der Größe $ und der Eckenzahl L beobachtet, wobei L die Werte P= 3,4... 
annehmen kann. Mit dx wird die mittlere Anzahl von k£-Schnittprofilen je Flächeneinheit 
sher bezeichnet. 
Te Der mittlere Durchmesser b ist unter den in diesem Abschnitt getroffenen Annahmen auch 
; dann noch eine Zufallsgröße, wenn angenommen wird, daß der maximale Durchmesser U gleich 
nt eins ist. Wie führen daher für j > 4 die Koeffizienten b; ein, die hier den Erwartungswert des 
CM, mittleren Durchmessers aller Polyeder mit der vorgegebenen Größe U = 1 und der Eckenzahl 
j bezeichnen. Die Koeffizienten g und T sind um den Index j erweitert; q;e ist die Wahrschein- 
lichkeit dafür, daß die Eckenzahl eines Schnittpolygons gleich £ ist, wenn das dazugehörige 
Polyeder gerade j Ecken hat. Mit m;%e bezeichnen wir die mittlere Anzahl der Schnittprofile 
je Flächeneinheit, deren Größe in der k-ten Klasse liegt und das gerade ( Ecken hat, wobei 
wiederum angenommen wird, daß die Größe U des Polyeders gleich eins und seine Eckenzahl 
(6) gleich j ist. 
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