52 8 3. Trigonometrische Beweise geometrischer Sätze 
Offenbar sind die Dreiecke 4BC und AB'C' ähnlich nach der Zahl 
zos «, die Dreiecke ABC und A'BC' ähnlich nach der Zahl cos ß und 
die Dreiecke ABC und A'B'’C ähnlich nach der Zahl cos y. 
Demnarh ish: BO =acos«=r-sin 2a 
(14) 0’A =becosß=r-sin 2ß 
AB =c cosy=r-sin 24. 
ix 
Wenn das Dreieck ABC spitzwinklig ist, so hat das Dreieck A' B'C' 
Jie Winkel 180° — 2«, 180° — 2ß, 180° — 2y. Ist aber etwa der Winkel « 
stumpf, so sind die Winkel des Dreiecks A’ B' C’ gleich 2x — 180°, 2ß, 27. 
Will man im letzten Falle für die Seiten des Dreiecks A'B'C' positive 
Maßzahlen erhalten, so hat man B'0'= —rsin2« zu setzen. Die 
Formeln (14) zeigen, daß der Umkreis des Dreiecks A’ B'(”, entsprechend 
dem Feuerbachschen Satze, den Radius Zr hat. 
Die Mittelpunkte der Berührungskreise des Dreiecks A'B' C' sind 
die Punkte H, 4, B, C; ihre Radien sollen der Reihe nach mit g', 01 
90', 0s' bezeichnet werden. Alsdann ist, entsprechend den Gleichungen 
(8) und (9): 
o' = +27 cos « cos ß cos 7, 
LE & * * 
= +2r cos & sin ß sin 7, 
0 = + 2r sin « cos ß sin 7, 
9. = + 2r sin «sin ß cos 7, 
wo das Vorzeichen so gewählt werden muß, daß die Radien positive 
Werte erhalten. Wenn das Dreieck spitzwinklig ist, so muß man immer 
Jas positive Vorzeichen wählen. In diesem Falle ist H der Mittelpunkt 
des Inkreises, der Kreis (A)o', der im Winkelfelde B' A'C', (B)g,' der 
im Felde C'B' A', (C)os' der im Felde A'C'B' gelegene Ankreis; der Um- 
fang des Dreiecks A'B'C' ist gleich 47 sin « sin ß sin y. Wenn aber 
der Winkel «x stumpf ist, so ist 4 der Mittelpunkt des Inkreises von 
ABC und sein Radius 0,/=—2r cos « sin ß sin y. Dagegen wird 
jetzt H der Mittelpunkt des im Winkelfelde B'A' C gelegenen Ankreises 
and sein Radius o'= — 2r cos « cos ß cos y. Der Punkt B ist Mittel- 
punkt des im Winkelfelde A'C'B' gelegenen Ankreises mit dem Radius 
0, = 2r sin « cos ß sin y, und der Punkt C Mittelpunkt des im Winkel- 
felde C'B' A' enthaltenen Ankreises mit 9; = 2r sin « sin ß cos 7. 
Der Feuerbachsche Kreis geht, wenn wir vom rechtwinkligen Dreieck absehen, 
durch die bekannten neun Punkte und kann also der Reihe nach durch 84 ver- 
schiedene Punkttripel bestimmt werden. Es braucht nur bewiesen zu werden, daß 
der durch ein derartiges Tripel gelegte Kreis auch die sechs übrigen Punkte ent- 
hält (vgl. I S. 860); dann gehen die weiteren Sätze unmittelbar aus dem Identitäts- 
prinzip hervor. Es erweckt aber immerhin einiges Interesse, die Umkehrungen 
Jirekt zu beweisen. Zu diesem Zwecke können, wie man leicht sieht, die ent- 
wickelten Formeln sehr gut benutzt werden. Hiernach bietet dieser Satz ein ge- 
eignetes Übungsfeld für die Anwendung trigonometrischer Formeln.