256 Analytische Geometrie. 
Die Fläche wird daher von der Ebene YOZ in einer imaginären Curve 
geschnitten; die andern beiden Hauptschnitte sind reale Hyperbeln mit gemein- 
samer Hauptachse (2@) und verschiedenen Nebenachsen. 
Eine Ebene, die parallel der Y Z-Ebene ist, und für welche x — Æ, schneidet 
die Fläche in der Curve 
  
R2 y? 72 
a 7a AG 
Dieser Schnitt ist imaginür, wenn 2? < a? ist; zwischen den Ebenen, 
die YOZ im Abstande + a parallel gehen, liegt also kein realer 
Punkt der Fläche. Ist % = = a, so geht die Gleichung 1. über in 
y? z2 
BE 
I. — 1 = 0, 
und dieser Gleichung wird nur durch y — z — 0 genügt, d. i. durch die Scheitel 
A und 4,. Ist 22 > a2, so ist die Schnittcurve eine Ellipse, deren Halbachsen 
auf den Spuren der Schnittebene liegen und die Längen haben 
2. a miyB-2, q-tyB-aA. 
Ist OD = 4, so sind 2, und vc, die Ordinaten D und DE, die in den 
Hauptschnitten zu der Abscisse OD gehören. Die Fläche wird daher durch 
eine veränderliche Ellipse beschrieben, die normal zur X-Achse sich so bewegt, 
dass ihr Centrum auf der X-Achse und ihre Scheitel auf den beiden Haupt- 
schnitten der Fläche sich bewegen. Wie die Formeln 2. zeigen, bleibt das Ver- 
hältniss der Halbachsen der bewegten Ellipse unveränderlich à : c. 
Diese Fläche heisst zweischaliges Hyperboloid. Sie besteht aus zwei 
von einander getrennten Schalen, die auf beiden Seiten der YZ-Ebene liegen. 
12. Durchschneiden wir das Hyperboloid mit einer Ebene XO$), die mit 
der X Y-Ebene den Winkel a bildet, so erhalten wir die Gleichung der Schnitt- 
lnie in Bezug auf das Coordinatensystem X O3), indem wir in der Gleichung 
der Fláche setzen 
Jz-9-405$9, 2 — y-sima. 
Hierdurch entsteht die Gleichung 
‘ x? cos? a sin? a 
I oy (5 + = p? — 1 == 0. 
V cosa sina 
qi cmq 5 m1: ca e oem. 
Der Verein der beiden Asymptoten dieser Hyperbel hat im Coordinatensystem 
XO) die Gleichung 
mU TT 53 
: E Sese 
Führt man die Multiplication aus und setzt den Werth für à, ein, so erhält man 
x? cos? a sin? ao - 
- c |= + =) v2 =o. 
a b € 
Setzt man hierin y für 9 cosa und z fiir ysiz a, so erhält man die Gleichung 
der von den Asymptoten aller dieser Schnitthyperbeln gebildeten Flüche 
3 em v og 
uh a2 29. 7:79 
Diese Fläche ist ein Kegel II. O., der Asymptotenkegel des zwei- 
schaligen Hyperboloids. 
= 0. 
       
   
  
  
  
    
   
  
  
  
   
  
   
  
   
   
  
  
  
  
   
    
   
    
    
     
    
    
   
  
  
  
   
    
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