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matische Verhältnis a:na (es ist in diesem Falle 8 /. oder
Ö/d=1),
Hiernach werden wir das Krumme in folgender Art be-
trachten können. Wenn man sich in eine krumme Linie ver-
setzt und nur innerhalb derselben vorwärts geht, aber alle
Raumelemente neben der Linie gänzlich aus der Betrachtung
verbannt, so ist kein Unterschied zwischen der krummen und
geraden mehr zu erkennen. Man kann indessen auch be-
haupten, es sei kein Unterschied mehr vorhanden, falls nur
die Linienausdehnung in der Vorstellung vorkommt. Sowenig
eine gerade Strecke für sich vorhanden ist, so wenig auch eine
krumme; auch hierbei sind nur Verhältnisse das Wirkliche, für
sich Vorhandene. Stellt man sich eine Linie so Vor, dass
man dabei die Anschauung des „krumm“ deutlich besitzt, so
ist die Ausdehnung neben der Linie dabei wesentlich. Stellt
man sich eine Anzahl von verschieden grossen Kreisen vor,
welche dieselbe Gerade in demselben Punkte berühren, so
wird die Verschiedenheit der Krümmung durch die Betrachtung
der Ebene klar, in der die Bogen sich befinden. Est ist in-
dessen nicht gerade diese ganze Ebene mit allen ihren Ele-
menten nötig; es genügt, wenn wir bemerken, dass zwei in
zwei Punkten einer Kreislinie gezogene Radien sich in die
Ebene hinein erstrecken und bis zu ihrem Schnitte eine be-
stimmte Länge haben. Das Beispiel der Kreiskrümmung möge
hier genügen; auch die Mathematik, auf deren Untersuchung
der Krümmung von Kurven und Flächen hier nicht der Raum
ist näher einzugehen, benutzt dabei den Kreis und sagt, dıe
bei einer beliebigen ebenen Kurve durch zwei unendlich nahe
Punkte gehenden Normalen lieferten den Krümmungsradius,
Beim Kreise brauchen diese Punkte nicht unendlich nahe ge-
dacht zu werden, können es aber. Betrachten wir einen sehr
flachen Bogen, so schneiden sich die Normalen in einer grossen
Entfernung, wird der Radius unendlichgross oder werden sie
parallel, so ist die Linie gerade. Will man sich üb erhaupt
die krumme Linie nebst den notwendigen Kennzeichen
der Krümmung vorstellen, so ist dazu ausser dem
Ss
