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Einen ähnlichen Weg können wir auch bei den Eulerschen 
Integralen der ersten Art einschlagen, indem wir zunächst die Dar- 
stellbarkeit des unbestimmten Integrals 
j x a ~ 1 (1 — x) b ~ 1 da; 
untersuchen; dieses gehört bekanntlich zu der Klasse der Integrale 
von sogenannten binomischen Differentialen, welche unter der all 
gemeinen Form 
J x m (a -f b x n )p d x 
stehen; es ist aber bekannt, daß das binomische Differential jedesmal 
rational und folglich auch integrabel gemacht werden kann, wenn ent 
weder —- oder m — ~ -f p eine ganze Zahl ist, und m, n und p 
n n 
rational sind. Damit also das obige unbestimmte Integral darstellbar 
sei, muß entweder a [oder auch 6, da ja B(a,b) = JB(6, a) ist] oder 
a + b eine ganze Zahl sein. Der erste Fall folgt aber auch un 
mittelbar aus den Formeln (2) und (4); denn wenn a eine ganze 
Zahl m ist, so geben diese Formeln 
R(m h\ — 
D(m,0) — r ^ m + b ) — ( m _ J + 4 )( m _ 2 + b)... (1 + 6)6 
und folglich mit Hilfe von der Formel (5) 
(m — 1) (m — 2) ... 2.1 
(6) 
B (m, b) 
(m — 1 -f- 6) (m — 2 -(- b) ... (1 + b) b 
Ebenso erhält man, wenn n eine positive ganze Zahl bedeutet: 
(n — l)(w — 2) ... 2.1 
B (a, n) 
B (m, n) 
(71 — 1 -j- (71 — 2 -(- . .. ( 1 -f- ö) CI 
(m — 1)... 2,1 .(n — 1)... 2.1 
(m n — 1) (m -j- n — 2)... 2.1 
Dagegen liefert der zweite Fall, in welchem a + b eine ganze Zahl, 
ohne daß a und b gleichzeitig ganze Zahlen sind, unabhängig von 
den Eulerschen Integralen der zweiten Art, eine neue Klasse von 
Integralen, von denen man a priori behaupten kann, daß sie sich 
darstellen lassen; doch können sie alle folgendermaßen auf ein ein 
ziges zurückgefiihrt werden. Ist nämlich a -J- 6 eine ganze positive 
Zahl (positive, weil als bekannt vorauszusetzen ist, daß die Euler 
schen Integrale für negative Argumente stets unendlich groß aus- 
fallen), so 
m und n i 
ist. Mit Be 
{m—1 + 
oder, da aus 
folgt, 
(7) B(m4 
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