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VJ. Analytische Geometrie,
‚ben Vor-
1.
ler Curve
mit der
ben Vor-
ür recht-
und für die Form F(zx, y) == 0 der: Curvengleichung: .
öF\? dF\?273 ;
(5) +6)
— \öz dy
© (27 »09F_ „OFF OF (OF? OF
Gy) öz? dx dy Oz dy (5) ‚3y?
Für Polarcoordinaten ‚erhält man: ; .
2
dr = dp+ du= dg + cos? ud tg u = dp + (5) art?
ds dr
5 3
ir G)
© Am? rde dr\? dar
d —— d TIP 2 (%) v—— £r
Pt (3) dr rc +2 de "dag?
8. Bezeichnen wir die Coordinaten des Krümmungsmittelpunktes
ür den Punkt (x, y) mit X, Y, so ist:
dy ; dx
X = U — 0— — —
—09 Ye)
öder auch:
Winkel,
ar Curve
Tangente
Bezeich-
edinaten:
r auf ein-
teht man
benach-
ıttelpunkt
einander
Mmungs-
dy
ds\? dx . ds\? 1
X — (— | — ‘ Y= —) —.,
(3) dig) v+(3) dig
dz? de?
9. Der geometrische Ort der Krümmungsmittelpunkte einer Curve
heilst deren Kvolute, die gegebene Curve selbst Kvolvente,
Man findet die Gleichung der Evolute, indem man aus der Gl.
ler Evolvente, deren Ableitungen und den Gl. für X, Y die Coordi-
naten x, y und ihre Ableitungen eliminirt, und dann X, Y als variabel
yetrachtet.
Jeder Krümmungsradius ist Normale der Evolvente, Tangente
ler Evolute.
Die Bogenlänge zwischen 2 Punkten der Evolute ist gleich der Dif-
(erenz der zu diesen Punkten gehörigen Krümmungsradien der Evolvente.
Man findet umgekehrt, wenn die Evolute gegeben ist, als Glei-
zhungen der Evolvente die folgenden:
dX dX
nz X— Sn) ya as
wenn (X, Y) einen beliebigen Punkt der Evolute bezeichnet und S
die Bogenlänge derselben bis zu diesem Punkte, von dem Punkte aus
gezählt, wo die Abwicklung beginnt.
10. Zwei ebene Curven, welche einen Punkt gemeinsam haben,
bilden in demselben einen Contact kter Ordnung, wenn die ersten
k- Ableitungen: &%X, ZY,,, LY zn dem betreffenden Punkte fü
6 i Di Sy — n nk r
g de’ dä Tzi in dem betre en Punkte fü
beide Curven gleich sind.