Erster Abschnitt, — Mathematik.
Bei einem Contacte von gerader Ordnung schneiden sich die Cur-
ven in dem gemeinsamen Punkte gegenseitig, bei einem Contacte von
ungerader Ordnung berühren sie sich ohne zu schneiden. Die Tan-
gente einer Curve bildet mit derselben im Allgemeinen einen Contact.
erster Ordnung, der Krümmungskreis im Allgemeinen einen Contact.
zweiter Ordnung.
11. Die Curve ist nach der positiven Seite der YAxe concav,
d? ; d?; .
wenn a > 0, und convex, wenn — «<0 ist. In dem Punkte, wo
x x
2
= ist, geht die Curve im Allgemeinen aus der Concavität in
z
3
die Convexität, oder umgekehrt, über und zwar immer, wenn et
; ®
nicht gleichzeitig == 0 ist. Der Punkt, in welchem. dies geschieht,
heifst ein Wendepunkt und man ermittelt denselben durch Auflösung
d?
der Gleichung 7 == 0. Wenn die Wurzeln dieser Gleichung gleich-
zeitig den sämmtlichen Gleichungen: ;
d3y diy dk*y‘ .
—z=0, ZZ =0,... —Z= )
dx? > dat dx* °
Genüge leisten, so bleibt der Punkt ein Wendepunkt, wenn & gerade
ist, die Tangente hat alsdann wegen 10. einen Contact von gerader
Ordnung mit der Curve, schneidet dieselbe also noch im Berührungs-
punkt. Ist hingegen & ungerade, so hat der Punkt nur die Eigen-
schaft, dafs seine Tangente mit der Curve eine Berührung ungerader
Ordnung eingeht, und ist kein Wendepunkt.
Für einen Wendepunkt ist o==%, mithin kann man auch statt
d? . .
7 == 0, jeden der Nenner in den verschiedenen Formen von o (un-
FE
ter 7.) == 0 gesetzt, als Bedingungsgleichung zur Bestimmung des
Wendepunktes benutzen.
12. Ein Punkt der Curve ist ein Doppelpunkt oder mehrfacher
Punkt, wenn zwei oder mehrere Zweige der Curve in demselben sich
schneiden. Wenn dies geschieht, erscheint immer
ar
dy dx
da dr
Dy
unter der unbestimmten Form &, es müssen also die Gleichungen:
OF dF ;
5x 9 äy = F(z, =
gleichzeitig stattfinden. Die letzte Gleichung läfst sich für Curven
nten Grades wie in 3. auf ;
1 FF MDF AnF.=0
reduc
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