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Erster Abschnitt. — Mathematik. 
7. Eine durch pp und M gelegte Gerade schneidet die Polcurve 
in C und D; dann geben CM, und DM, die Richtungen der Haupt- 
axen der Ellipse. 
8. Die Längen der Hauptaxen folgen aus: 
a==n0 “N, 
auch ist: . a-+ b==* v==M,Q, 
wobei M.Q +EnM ist. 
9. Zieht man von M, aus eine Gerade durch X, den Schnitt- 
punkt der Normalen mit der Polcurve und macht darauf M, £==Bop= 10, 
so sind M,E und M,p conjugirte Halbmesser der Ellipse der Rich- 
tung und Gröfse nach. 
10. Der Krümmungsmittelpunkt m ist der 4te harmonische Funkt 
zu pK und Q, so dafs man hat: 
pm.pK =pQ?. 
11. Ein Kreis um n%, den Schnittpunkt der Tangente mit der 
verlängerten kleinen Axe, mit Pn geschlagen, schneidet die grofse Axe 
in den Brennpunkten F. 
12. Macht man GS==Dp, so ist S der Scheitel der Ellipse. 
(3. Alle von Punkten der Polcurve beschriebenen Rouletten sind 
gerade Linien und zwar Durchmesser der Polbahn. (s. S. 95, 9.) 
|. Curven von doppelter Krümmung. 
a. Allgemeine Sätze. 
1. Eine Curve von doppelter Krümmung wird allgemein durch 
8 Gleichungen von der Form: 
==, (0) y= U (0), =, (8) 
dargestellt. Durch Elimination von % erhält man 2 Gleichungen zwi- 
schen %, y, zZ: 
. FF, (@,y,2)=0, F,(@, y,z)= 0 
welche zusammen die Curve darstellen. 
2. Die Winkel «, 6, y, welche die Tangente im Punkte x, y, z 
mit den Coordinatenaxen der x, y, z bildet, erhält man aus 
dx ‘ dy e dz, 
C =—, © = — == —— 
08 a ds? 08 8 ds? 08 ds} 
während das Bogendifferential 
ds= V dw? + dy? + dz? ist. 
Die Gleichungen der Tangente im Punkte x, y, z sind demnach 
SE n—y _5—? 
dx dy = dz 
dt dt dt 
3. Die Gleichung der Normalebene ist: 
(&— 2) da +(n—y) dy+(E— 2) dz=0. 
4. Eine Ebene, welche durch den Punkt z, y, z und die beiden 
benachbarten Punkte der Curve geht, nennt man die Krümmungs- 
ebene in dem Punkte z, y, z. 
Setz 
Ar=d 
D= 
so ist 
Die 
X, Yı Z- 
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und m: 
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