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Yen
I. Geostatik.
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Wenn S(Xdx-+ Ydy + Zöz) das vollständige Differential einer
Function der Coordinaten ist, so ist diese Function für den Gleich-
zewichtszustand ein Maximum oder Minimum, je nachdem das Gleich-
yzewicht ein stabiles oder labiles ist.
D. Vom Schwerpunkte.
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51
Bßezeichnen im Folgenden E&, 7, & die Coordinaten des gesuchten
Schwerpunktes eines beliebigen Massensystems, m,, M,, Mg... die
Massen in den Punkten %,, Yı) Zı) %ar Yar Zai ---, SO findet man
jen Schwerpunkt aller Massen durch: . .
) . M . . .
en 3m), LFD, Zn,
Zm Em Em
Dieselben Gleichungen bleiben bestehen, wenn. man unter m., M,,
mz... die Massen von Körpern, Flächen oder Linien und unter
Uy Yır Su} ar Yar Za--- die Abstände ihrer Schwerpunkte von den
jetreffenden Coordinatenebenen versteht.
Bedeutet P das totale Gewicht eines Körpers (Fläche, Linie) und
y das specifische Gewicht [Gewicht der Volumeneinheit] desselben,
welches in allen Punkten des Körpers im Folgenden constant voraus-
gesetzt wird, V das Volumen (Inhalt, Länge). des Körpers (Fläche,
Linie), so ist:
Sa AV __yf@dV,
> VY P
Sy IV _ySy AV,
WA UTP
em LEAV_ufed?
7 pa
lie Integrale über den ganzen Körper (Fläche, Linie) ausgedehnt.
Giebt es für eine Linie, Fläche oder einen Körper eine Symmetrie-
;bene, Symmetrieaxe oder einen Mittelpunkt, so liegt darin der
Schwerpunkt.
a. Schwerpunkt von Linien. Es ist für eine Linie, deren
Gleichungen y== vw, (%), z= vw, (@): ; I
£ 1 ı[r ; 1
= yzds; = yyds; == yzds,
wo unter ds das Bogendifferential zu verstehen ist. Für eine Curve
in der xy Ebene ist Z==0. Für eine homogene Linie (von gleicher
1
Dichte in allen Punkten) ist D=—, unter L die Länge derselben
verstanden. ;
i. Die gerade Linie hat ihren Schwerpunkt in der Mitte.
2. ‚Dreiecksumfang. Der Schwerpunkt liegt im Mittelpunkte des
eingeschriebenen Kreises für dasjenige Dreieck, dessen Ecken die Mit-
ten der Seiten des ursprünglichen sind. Sind a, db, c die Seiten des
