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& 51. Das Princip der virtuellen Geschwindigkeiten. 391
schwindigkeiten“ in seiner Allgemeinheit zum Ausdruck ge-
oracht.
Zum Beweise desselben denken wir uns zunächst nur einen
ainzigen Punkt des Systems verschoben, alle übrigen Punkte da-
yegen in ihrer ursprünglichen Lage bleibend. Da nun auch bei
dieser virtuellen Bewegung des Systems der Voraussetzung nach
die Arbeitssumme aller Kräfte ==0 ist und die in Ruhe geblie-
jenen Punkte für sich eine Arbeitssumme ==0 liefern, so muss
die virtuelle Arbeit der am verschobenen Punkte wirkenden Kräfte
=0, der Punkt also im Gleichgewicht sein. In gleicher Weise
ergiebt sich auch das Gleichgewicht der übrigen Punkte und da-
nit das Gleichgewicht des ganzen Systems.
Analytisch kann das Prineip der virtuellen Geschwindigkeit,
wie folgt, ausgedrückt werden:
Ist P eine der Kräfte, welche am materiellen System thätig
sind, ds die virtuelle Verschiebung des von der Kraft P ange-
zriffenen materiellen Punktes des Systems, so ist die virtuelle
Arbeit von P, wenn X, Y, Z die Komponenten von P nach der
den Koordinatenachsen und dx, dy, dz die Projektionen von ds auf
diese Achsen sind, ausgedrückt durch ,
X.dx + Y.ıdy + Z-.dz.
Da aber das materielle System im Gleichgewicht ist, wenn die
Summe der virtuellen Arbeiten aller am System thätigen Kräfte
sich gleich Null herausstellt, so hat man als Gleichgewichts-
gedingung für das System und als analytischen Ausdruck des
Prineips der virtuellen Geschwindigkeiten
S3(X.dx + Y-.dy + Z.dz) = 0.
284. Beschränkt bewegliche materielle Systeme. Darunter
verstehen wir solche Systeme, bei welchen die einzelnen mate-
riellen Punkte sich nicht ganz beliebig bewegen können, vielmehr
bezüglich ihrer Bewegung gewissen Einschränkungen, gewissen
Bedingungen unterworfen sind. So kann verlangt sein, dass
die einzelnen materiellen Punkte in unveränderlichen Abständen
von einander bleiben, also ein unveränderliches oder starres
materielles System bilden sollen, und dass zugleich das System
ainen festen Punkt oder zwei feste Punkte besitze, oder auch,
lass einzelne Punkte des Systems auf vorgeschriebenen Linien
der bestimmten Flächen bleiben sollen u. s. f.
Bei einem solchen unfreien materiellen System bezeichnen die
mit den gestellten Bedingungen verträglichen virtuellen
Verschiebungen der materiellen Punkte des Systems zugleich die