8 56. Die Berechnung der Trägheitsmomente. 419 
Um diesen Satz zu beweisen, wollen wir (Fig. 266) zwei 
KXoordinatensysteme mit parallelen Achsen annehmen, das eine 
mit dem Ursprung O0, das an- 
Jere mit dem Ursprung 0’. Die 
Koordinaten eines Massenelemen- 
tes dm in Beziehung auf das 
erstere Koordinatensystem seien 
X, Y, Z, diejenigen in Beziehung 
auf das zweite System x’, y', 7, 
und a, b, c die Koordinaten des 
Irsprungs O0 in Beziehung auf *%/’ 
das Koordinatensystem U. 
Man hat nun 
m? 
Y,= Zdm(x'? + y'?)= Zdm(x + a)? + Z dm (y + b)* 
= Ydm-x?-La*.Zdm-+ 2a: Z dm: x + 
+ dm y? + 6.Zdm-+2b-Zdm-y 
— Ydm- x? + Zdm- y? + (a*-+b)m + 2a.Zdm:- x + 2b Zdm-y 
= dm +y + e&.m +20: Zdm x+2b-Zdm-y 
-6,+m- ee + 2a-mxg + 2b-Myg, 
wobei x und yg die Entfernungen des Schwerpunktes der Ge- 
sammtmasse m des gegebenen Körpers von der yz Ebene be- 
ziehungsweise der xz-Ebene des Koordinatensystems 0. Im Falle 
die z- Achse durch diesen Schwerpunkt hindurchginge, wäre z4==0 
and ya=0 und damit 
) 
9. zz 6, + me?. 
Es ist also der angegebene Satz bewiesen. 
306. Rechtwinkliges Parallelepiped. Die Kantenlängen seien 
a, b, c. Um das Trägheitsmoment ©, des Parallelepipeds in Be- 
ziehung auf seine der Kante c parallele Schwerpunktsachse zu 
erhalten. setzen wir wieder 
dO,=— 0, -dx-ö, 
WOraus = 6, dx ö= 64 6Zdx=—= O,ö:0 . 
nn 1 g 1 5) = 2000 a aM 
= 5 al7z0b +75b6 =— (c +5) = 75 d?*. 
ınter d die Länge der Diagonale des Rechtecks cb verstanden. 
307. Kreiscylinder. Wir wollen die Cylinderachse als die 
x-Achse des Koordinatensystems annehmen und den Ursprung des 
letzteren in der Mitte der Cylinderachse. Damit erhält man, 
wenn r der Halbmesser und } die Länge des Cylinders: 
97*