8 57. Die Hauptträgheitsmomente eines homogenen Körpers, 425 
da aber cos? q-- cos? ß + cos’y==1, also 
1— cos? g== cos? 8 +ecos?y; 1— cos? ß==cos* a + cos*y; 
1 — cos? y == cos? a + cos? ß, 
so erhält man: 
(MN)? = (y? + 2?) cos? a + (x? + 2°) cos? 8 + (x? + y*) cos? y — 
— 2xy COS COS f — 2XZ COS A: COS Y — 24YZ COS B cos). 
damit wird das Trägheitsmoment dO des Elementes dm in Bezug 
auf die Achse ON: 
d O0 = dm (MN)®, 
woraus O= cos? g Xdm(y? + z?) + cos? 8 X dm (x? + 2?) 
+ cos? y Zdm (x? + y?) — 200osa-cosfßZdm x-y 
— 2cosa cos y Zdmx-z— 2 cos ßecosy Zdmy-z. 
Die Ausdrücke 
Sdmy? +2)= 4; Zdmla*+2)=B; Zdmx* + y*)=C 
sind nichts anderes als die Trägheitsmomente der Masse m be- 
zogen auf die Koordinatenachsen und zwar 4 bezogen auf die 
z-Achse, B auf die y-Achse und C auf die z-Achse. Des weiteren 
pflegt man die Ausdrücke: 
Sim zy=D; EXZdm xz= E; Zdmyz= F 
Centrifugalmomente zu nennen. Mit diesen Bezeichnungen 
yeht sodann die Gleichung für © über in: 
0A — A cos? g + B cos? ß + C.cos? y — 2.D cos a: cos ß — 
— 2 E cos a cos 7 — 2F-cos 6 cos v. 
Um jetzt zu erkennen, wie das Trägheitsmoment © sich ändert, 
wenn man die Momentenachse ON um O dreht, tragen wir auf dieser 
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Achse von O aus jedesmal eine Länge n = v6 ab. Sind dann 
X, Y, Z die Koordinaten. des Endpunktes P der von 0 ausgehenden 
Strecke n, so hat man: 
cosa= XVO; cosß= YVOÖ; cosy=ZVO und damit: 
|— AX?-LBY?-LCZ?—9D.XY—2E.XZ—2F.YZ. 
Dies ist die Gleichung eines Ellipsoids, dessen Mittelpunkt 
jer Ursprung O0 des Koordinatensystems. Dasselbe wird Träg- 
heitsellipsoid des Körpers für den Punkt O genannt. Die 3 auf- 
inander senkrecht stehenden Achsen des Trägheitsellipsoids heissen 
Jie Hauptachsen des Körpers für den Punkt O0. 
Hätte man die Achsen des Trägheitsellipsoids als Koordi-