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Geodätische Übungen: II. Gruppe ; 131 
wonach der Winkel 7 aus der Strecke b zu berechnen ist und umgekehrt. 
Man kann auch noch darauf hinweisen, daß die Strecke BC = a, die 
F abtrennt, die kleinste Länge hat, wenn man ABC gleichschenklig 
macht. 
Soll die Gerade BC, die vom Felde des Winkels A die Dreiecks- 
Aäche / abschneidet, einen gegebenen Punkt D treffen, der innerhalb 
des Feldes liegt, so sei AD =r und < CAD = g. Dann sind b, c be- 
stimmt durch die beiden Gleichungen: 
besina« = 2F, 
be sin « = br sin g + cr sin (« — ©) 
ınd erscheinen als Wurzeln zweier quadratischen Gleichungen mit der 
zemeinsamen Diskriminante: 
2r? sin g sin (« — ©) 
1— PR, 
IFsin«e 
Daher ist unter den Dreiecken, die mit den durch XD gehenden Geraden 
abgeschnitten werden können, ein kleinstes, dessen Seite BC durch D 
aalbiert wird. Demnach läßt die Aufgabe eine doppelte, nur eine oder 
zar keine Lösung zu, je nachdem /F das angegebene Minimum übertrifft, 
ihm gleichkommt oder es nicht erreicht. Die Geraden, die ein- und das- 
selbe FF abtrennen, umhüllen eine Hyperbel, und die angegebene Deter- 
mination besagt, daß durch D zwei Tangenten der Kurve gehen, eine 
der keine, je nachdem dieser Punkt außerhalb der Kurve liegt, ihr an- 
yehört oder in das Innere fällt. Wählt man den Punkt D außerhalb des 
yegebenen Winkelfeldes, so wird « <@, und die Aufgabe hat stets eine 
ınd nur eine eigentliche Lösung. In der Tat berührt von den: beiden 
Äyperbeltangenten, die durch D gehen, nur eine den Ast, der in diesem 
Welde liegt. 
Eine weitere zur Besprechung geeignete Aufgabe über Teilung des 
Dreiecks ist folgende. Innerhalb des gegebenen Dreiecks ABC soll der 
Punkt S so bestimmt werden, daß die Dreiecke BCS, CAS, ABS der 
Reihe nach den vorgeschriebenen Inhalt Fi, F, FF; haben. Bekanntlich 
kann man die Aufgabe lösen, indem man die Seite CB durch die Punkte 
Q, R so teilt, daß CQ:QR:RB=F,:F,:F; ist, und durch Q die 
Parallele zu AC, durch R die Parallele zu 4 .B zieht. Der Schnittpunkt 
$ der beiden Parallelen hat die verlangte Eigenschaft. 
Zu einer anderen Lösung gelangt man durch folgende Überlegung. 
Wenn ein Punkt S innerhalb des Dreiecks ABC liegt und die von den 
Ecken des Dreiecks nach S gezogenen Geraden die gegenüberliegenden 
Seiten in den Punkten D, E, F treffen, so ist: 
ABD:ACD=SBD:SCD= BD: CD, 
laher auch: ABS:ACS=BD:CD. 
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