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Erste Einführung in die Geometrie der Lage 157 
len Ebenen S'BC und 8” B'O', also auch der Geraden B"'C” an. In gleicher 
Weise liegt der Punkt V auch in der Geraden 0” 4” und der Punkt W in der Ge- 
‚aden 4" B'". Demnach gehören die Punkte U, V, W den beiden Ebenen ABC 
ınd A4"”B'"C" und somit ihrer Schnittgeraden an. 
Aus diesem Satze kann man den merkwürdigen Satz herleiten: 
Durch drei in der Reihenfolge A, B, C gewählte Punkte einer Geraden ist ein 
zierter Punkt D eindeutig in der Weise bestimmt, daß er durch bloßes Ziehen von 
zeraden Linien gefunden werden kann. Diese Konstruktion führt von den Punkten 
B, A, C aus wieder auf den Punkt D; dagegen erhält man, wenn man von den 
Punkten A, B, D oder den Punkten B, A, D ausgeht, durch die Konstruktion den 
Punkt C, während die Reihenfolgen C, D, A und D, C, A auf den Punkt B, die 
7olgen C, D, B und D, U, B auf den Punkt A führen. 
Um den Punkt D zu konstruieren, der der Wahl 4, B, C entspricht, nehmen 
wir den Punkt K und in der Geraden A K den Punkt M beliebig hinzu. Die Ge- 
caden CM und BK mögen in N, die Geraden AN und BM inL zusammentreffen. 
Der Punkt D, in dem die Gerade AB von K L geschnitten wird, ist der gesuchte 
Punkt. 
Wir müssen nachweisen, daß der Punkt D von der Wahl der Punkte X und 
M unabhängig ist. Zu dem Zwecke gehen wir von einem Punkte X’ aus und ziehen 
in der Ebene ABK!" durch C eine Transversale, die mit A K' in M' und mit BK” 
.n N’ zusammenstößt. Wenn jetzt die Geraden AN’ und BM’ einanderin T/ schneiden, 
so läßt sich zeigen, daß die Gerade K’L’ ebenfalls durch den Punkt D geht. Die 
5eraden der Paare MN und M'N', NL und N’L’, LM und L’M' treffen ein- 
ınder in den Punkten 4, B, C, die in gerader Linie liegen. Also sind die Dreiecke 
LMN und L'M'N' perspektiv, oder die Geraden LL’, MM', NN' gehen durch 
nen Punkt. Aus demselben Grunde treffen die Geraden KK’, MM ' NN’ in 
xinem Punkte zusammen. Folglich liegen die Dreiecke NKL und N’K'L' per- 
;pektiv; also treffen sich die Geraden KL und K'L' auf der Geraden, die die 
Schnittpunkte der Geraden NK, N’K' und NL, N’L' oder die Punkte B und 4 
verbindet. Hiernach ist der Punkt D von der Wahl der Punkte K und M un- 
abhängig. - 
Die Konstruktion ist gleichmäßig in den Punkten 4 und B; man wird also 
wieder auf den Punkt D geführt, wenn man von den Punkten B, 4, C ausgeht. 
Um zu den Punkten A, B, D den entsprechenden Punkt zu finden, kann man den 
Punkt M hinzunehmen und die Geraden AM und BM durch die Gerade DKL 
schneiden. Will man von den Punkten C, D. 4 ausgehen. so kann man die Geraden 
OL und DM hinzufügen. 
Dieser Satz hängt mit dem Satze vom vollständigen Vierseit zusammen, den 
wir in I 8.374 bewiesen haben. Fassen wir nämlich die Geraden AKM, BKN, 
ALN und BLM als die Seiten eines vollständigen Vierseits auf, so sind C und D 
lie Punkte, in denen die Diagonale 4 B durch die beiden anderen Diaganalen ge- 
«roffen wird. Hiernach wird die Strecke AB in den Punkten C und D harmonisch 
zeteilt. Während aber bei dem dort angegebenen Beweise sämtliche Axiome der 
Aeometrie benutzt wurden, reichen wir hier mit den Axiomen der Anordnung und 
jer Verknüpfung aus. Wir dürfen demnach von den metrischen Beziehungen 
„wischen den Strecken AC, CB, AD, DB ganz absehen und sagen, die durch die 
Konstruktion verbundenen Punktpaare 4, B und €, D seien einander harmonisch 
zugeordnet. Dann geht aus unserer Konstruktion der Satz hervor: 
Wenn vier Ebenen eines Büschels irgend eine Gerade in vier harmonischen 
Punkten schneiden, so liegen die vier Punkte, in denen irgend eine andere Gerade 
von den vier Ebenen geschnitten wird, ebenfalls harmonisch. 
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